Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Необходимость

Дополнение 4 к п.3 (к стр. 13 лекции)

Достаточность

 

Доказательство достаточности можно найти в монографии Ф.Хартман. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», Мир, М., 1970, в главе 6 (стр.144-163).


Пример. Движение конька

 

На рисунке 2.3.1 конек схематично представлен в виде отрезка , положение которого зафиксировано в некоторый момент времени в плоскости его движения.

 

 

 

 

 

Рис.2.3.1

 

Движение конька рассматриваем в системе отсчета с направляющими ортами .

Обозначим — радиус-вектор любой точки лезвия конька, а — радиус-вектор некоторой фиксированной точки этого лезвия.

На рис.2.3.1 в качестве точки выбрана середина лезвия конька.

 

Обозначим — направляющий орт прямой , на которой в момент времени находится лезвие конька. Направляющий вектор этой прямой совпадает с направлением стопы фигуриста от пятки к пальцам.

 

Пусть . Тогда можем записать

 

, .

 

Здесь — расстояние от точки до точки в любой момент времени .

 

Отсюда следует, что движение любой точки лезвия конька определено, если определены движение точки и закон изменения направления орта .

 

Это значит, что для того, чтобы знать движение любой точки лезвия конька, достаточно определить движение точки и движение орта .

 

Введем следующие обозначения:

 

— координаты точки ;

 

— угол между ортом и плоскостью ,
отсчитываемый от плоскости до орта ;

 

, причем, если , то ;
если , то ;

 

— угол, отсчитываемый от орта оси

в плоскости до проекции орта на эту плоскость; угол отсчитывается в положительном направлении оси относительно орта ; .

 

В этих обозначениях будем иметь

 

,

 

.

 

Отсюда следует, что для определения движения конька, достаточно знать закон изменения пяти координат: .

 

Будем рассматривать следующую модель движения конька.

 

1. Движение лезвия при всех происходит в плоскости (конек не отрывается от плоскости льда).

 

2. Точка движется так, что ее скорость остается параллельной орту .

 

Из условия 1 вытекает, что в предлагаемой модели движения должны выполняться ограничения, являющиеся голономными стационарными связями:

 

; . (2.3.29)

 

Если обозначить компоненты вектора в системе , то из второго условия предлагаемой модели движения находим следующие ограничения, которые имеют вид дифференциальных связей первого порядка:

 

, .

 

Учитывая, что , , , от этих уравнений переходим к уравнениям в полных дифференциалах:

 

, (2.3.30)

 

. (2.3.31)

 

Дифференциальная связь (2.3.30) интегрируема. После ее интегрирования придем к геометрической связи (2.3.29). Поэтому связь (2.3.30) можно исключить из рассмотрения.

 

Покажем, что связь (2.3.31) неинтегрируемая. Уравнение этой связи по виду совпадает с уравнением (2.3.27), в котором следует заменить обозначение переменной буквой , а коэффициенты и заменить функциями

 

, .

 

Поэтому, применяя следствие 2, можем записать, что необходимое и достаточное условие интегрируемости связи (2.3.31) задается тождеством (2.3.28):

 

.

 

Подставляя в левую часть этого тождества явное выражение функций и , получаем

 

0.

 

Поскольку данное соотношение не является тождеством, то из следствия 2 делаем вывод, что связь (2.3.31) неинтегрируемая.


5. Дополнение 5 к п. 4 §3 (к стр. 20 лекции)

Теорема 4 (вторая теорема Фробениуса)

Для того чтобы система (2.3.35)

(2.3.35)

была вполне интегрируема в области , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

(2.3.36)

 

для всех ;.

 

Тождества (2.3.36) рассматриваются по всем значениям переменных , в области .

Пусть система (2.3.35)

 

. (2.3.35)

 

вполне интегрируема в области .

 

Это значит, что для любых существуют функции , , являющиеся компонентами вектора , со свойствами, указанными в определении 5.

 

Тогда подстановка функций в систему (2.3.35) обращает уравнения в тождества.

 

Из этих тождеств делаем вывод о том, что правые части уравнений (2.3.35) являются полными дифференциалами функций , .

 

Тогда, согласно теореме 1 из п.3º, для коэффициентов

 

и ,

 

каждого из уравнений с номером , , справедливы тождества:

 

, (2.3.37)

 

, (2.3.38)

 

(2.3.39)

 

для всех , для которых определены функции .

 

Здесь в последнем тождестве через и обозначены операторы вычисления частной производной по координате и , соответственно, от суперпозиции функций и (для оператора ) и функций и (для оператора ).

 

Раскроем левую часть тождества (2.3.39). Будем иметь

 

.

 

Подставляя в правую часть вместо тождество (2.3.38), записанное для , окончательно получим

 

(2.3.40)

 

Аналогично, вычисляя правую часть тождества (2.3.39) и учитывая тождество (2.3.37) для , найдем

 

(2.3.41)

 

После подстановки функций (2.3.40) и (2.3.41) в соотношение (2.3.39), оно примет вид:

 

 

;.

 

Эти тождества справедливы для всех , для которых определены функции .

Полагая в них и учитывая, что , придем к следующим равенствам

 

 

;.

 

В силу произвольности выбора точки , полученные равенства справедливы для всех точек области . А это значит, что имеют место тождества (2.3.36) по .

Необходимость доказана.

 

Доказательство достаточности можно найти в монографии:

Ф.Хартман. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», Мир, М.,1970, в главе 6 (стр.144 - 163).

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Необходимость. Теорема 3(первая теорема Фробениуса) | Сущность ликвидности, финансовой устойчивости и деловой активности предприятия
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 212; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.079 сек.