К расчету магнитного поля

Закон Био – Савара – Лапласа и его применение

Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж. Био (1774–1862) и Ф. Саваром (1791–1841). Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физиком П. Лапласом.

Закон Б–С-Л устанавливает величину и направление вектора магнитной индукции dB в произвольной точке магнитного поля, создаваемого в вакууме элементом проводника длиной dl и током I:

, где dl- вектор, совпадающий с элементарным участком тока и направленный в ту сторону, в какую течет ток, r – вектор, проведенный от элемента тока в ту точку, в которой определяется dB (см. рис.), - магнитная проницаемость, - магнитная постоянная.

Направление вектораопределяется правилом правого винта: поступательное движение соответствует направлению тока в элементе проводника, тогда вращательное движение определяет направление .

Модуль вектора определяется выражением

, где α – угол между .

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций отдельных полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом: .

Применим закон Био – Савара – Лапласа и принцип суперпозиции для расчета полей:

1. Магнитное поле прямого тока - тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (см.рис.).

В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы d B от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»), поэтому сложение векторов d B можно заменить

сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол α (угол между векторами d l и r), выразив через него все остальные величины.

Из рис. следует ,

Подставим эти выражения в закон Б-С-Л, получим

Так как α меняется от 0 до π, тогда согласно принципу суперпозиции

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

.

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током.

Векторы d B от всех элементов кругового тока имеют одинаковые направления (по оси витка). Поэтому сложение векторов d B заменим сложением их модулей.

r = R, α = 90⁰, sin α=1

3. Магнитный момент витка с током

Элементы кругового тока dl₁ и dl₂ создают на оси витка поле: - суперпозиция полей от элементов d₁ и d₂. На оси тока один элемент создает поле:

Полное поле на оси:

, где S-площадь, обтекаемая током.

Учтем - магнитный момент тока.

Тогда .

Дата добавления: 2014-01-07