Метод подстановки (замены переменной) в неопределенном интеграле

Лекция № 2, ВА-1, матан, 2 семестр

Тема. Метод замены переменной (метод подстановки) в неопределенном интеграле. Интегралы вида

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или сводящимся к табличному (в случае «удачной» подстановки). Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл

. (1.1)

Алгоритм интегрирования методом заменой переменной сформулируем в двух вариантах.

Вариант I.

1⁰. Выбираем новую переменную , связанную с исходной (старой) переменной формулой . Функция – непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию ;

2⁰ Находим неопределенный интеграл относительно новой переменной:

; (1.2)

3⁰ Производим возврат к старой переменной с помощью формулы .

Схематично этот вариант можно представить следующим образом:

Покажем на двух примерах применение первого варианта замены переменной к вычислению интегралов.

Пример 1.1.

Решение. Замена переменной по формуле позволит освободиться от иррациональности подынтегральной функции.

Пример 1.2.

Решение. В данном интеграле подстановка позволит преобразовать данный интеграл к табличному интегралу:

Вариант II.

1⁰. В том случае, когда подынтегральное выражение имеет вид: , подбираем подстановку в виде функции . Отсюда

2⁰. Находим неопределенный интеграл относительно новой переменной:

(1.3)

3⁰ Производим возврат к старой переменной с помощью формулы .

Приведем схему и для второго варианта:

Рассмотрим примеры применения второго варианта замены переменной к вычислению интегралов.

Пример 1.3.

Решение. В рассматриваемой задаче следует воспользоваться подстановкой: , т.к. . Тогда или или

Произведем замену переменной в данном интеграле:

Обычно решение записывается коротко в виде:

Рассмотрим еще ряд примеров, иллюстрирующих применение метода подстановки к вычислению интегралов.

Пример 1.4.

Решение. Используем подстановку . Тогда , отсюда

Поэтому:

, ибо ,

т. к. , .

Приведенное решение коротко записывают в виде:

.

Пример 1.5. .

Решение. = =

.

Пример 1.6. .

Решение.

=.

Дата добавления: 2014-01-07