Вычисление определенных интегралов. Формула Ньютона – Лейбница

Результаты предыдущих разделов совершенно бесполезны без эффективных алгоритмов вычисления определенных интегралов. Построим эти алгоритмы.

Пусть в определенном интеграле

нижний предел закреплен, а верхний – изменяется. Тогда будет изменяться и значение интеграла, то есть интеграл станет некоторой функцией верхнего предела. Обозначим этот предел через , a чтобы не спутывать его с переменной интегрирования, обозначенной переменную интегрирования через (заметим, что интегралы и дают одно и то же значение). Обозначим интеграл с переменным верхним пределом символом , получим:

(3.1)

Рассмотрим две теоремы.

Теорема 3.1. Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке имеет место равенство:

(3.2)

Примем теорему без доказательства.

Теорема 3.1 позволяет доказать основную теорему интегрального исчисления.

Теорема 3.2 (Ньютона-Лейбница). Если какая-либо первообразная для непрерывной функции , то справедлива формула:

(3.3)

Доказательство. Пусть – какая-либо первообразная функция для функции . Функции также является первообразной для функции (теорема 3.1) Поэтому справедливо равенство:

, где С – произвольная постоянная.

Для определения С положим в последнем равенстве , получим:

Но , (см. свойство 5⁰). Поэтому имеем , отсюда:

.

Следовательно,

Подставив в последнее равенство значение вместо и заменив на , получим:

.

Мы доказали формулу (2.2). Это основная формула интегрального исчисления. Она носит название формулы Ньютона–Лейбница, по имени двух ученых, открывших ее. В практическом использовании ее записывают в виде:

(3.4)

Таким образом, при вычислении определенных интегралов необходимо пользоваться формулой (3.4), таблицей неопределенных интегралов, а также правилами нахождения неопределенных и определенных интегралов.

Проиллюстрируем применение формулы Ньютона-Лейбница на примере решения задачи.

Задача 3.1. Найти определенный интеграл

Решение. Применим формулу (3.4):

Геометрически данный интеграл выражает площадь трапеции представленной на рис. 3.1. Площадь трапеции равна:

Дата добавления: 2014-01-07