Резонанс напряжений

Возникает в цепи при последовательном включении разнохарактерных элементов(рис.51).

Для данной схемы можно записать второй закон Кирхгофа для мгновенных значений:

(88)

Рис.51.Электрическая схема.

Перейдя к комплексным изображениям,получим:

(89)

(90)

Построим векторную диаграмму, приняв, что вектор тока направлен по вещественной оси комплексной плоскости(рис.52):

Рис.52.Векторная диаграмма для режима резонанса напряжений.

Вектор совпадает по фазе с вектором тока,так как отсутствуют множители и -.Вектор опережает вектор тока на 90˚ из-за наличия множителя,а вектор отстает от вектора тока на 90˚ из-за наличия множителя -.

Из диаграмм рис.52 видно, что вектор тока совпадает по фазе с вектором ЭДС,

Когда равны падения напряжения на реактивных элементах L и С:

;

Отсюда условие возникновения резонанса напряжений:

;;; (91)

Это же условие можно получить аналитически, если в выражении (89) вынести комплекс тока за скобку:

; (92)

Из выражения (92) видно, чтобы вектор тока совпадал по фазе с вектором ЭДС, необходимо, чтобы коэффициент при мнимой части обращался в нуль:

; (93)

Введем понятие добротности Q:

; (94)

В момент резонанса напряжение на катушке индуктивности и напряжение на конденсаторе компенсируются (рис.52) и ЭДС прикладывается только к резистору R:

; (95)

Добавим I в числитель и знаменатель выражения (94):

(96)

Из выражения (96) видно, что в момент резонанса напряжения на реактивных элементах L и С в Q раз превышает питающую ЭДС E.

Режим носит название резонанса напряжений, так как в момент резонанса напряжения на реактивных элементах L и C могут во много раз превышать питающую ЭДС.

Не зная этого, легко ошибиться при выборе элементов.

Так, в радиотехнике Q=100 достигается легко.

Пример:

В схеме рис.51. питающая ЭДС =12В. Добротность контура Q=100.Определить напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе.

Учитывая (96), имеем

Напряжение на катушке индуктивности и конденсаторе будет 1200 В. Не зная явления резонанса, инженер выберет конденсатор и катушку на 12 В.Элементы мгновенно выйдут из строя.

Расчёт электрических цепей при наличии в них магнитносвязанных катушек.

При составлении уравнений для магнитносвязанных цепей необходимо знать, согласно или встречно направлены потоки самоиндукции и взаимоиндукции.

Правильное заключение об этом можно сделать, если известны направления намотки катушек и выбраны положительные направления токов в них.

а) б)

в) г)

Рис.53.Согласное и встречное включение катушек.

При протекании переменного тока в катушке с индуктивностью в ней наводится ЭДС самоиндукции:

(97)

А при протекании переменного тока в катушке с индуктивностью в ней наводится ЭДС самоиндукции:

(98)

На рис.53,а направления намотки обоих катушек одинаковые, поэтому направления магнитных потоков и также одинаковые, так как выбраны одинаковые положительные

направления токов в них. Направление магнитного потока в катушке можно определить с помощью правила правоходового винта. Если головку винта вращать по направлению тока, то направление движения правоходового винта даст направление магнитного потока.

Магнитный поток пронизывает первую катушку и в ней наводится ЭДС взаимоиндукции

, (99)

А магнитный поток пронизывает вторую катушку и в ней наводится ЭДС взаимоиндукции

. (100)

Здесь М – коэффициент взаимоиндукции.

На рис.53а потоки самоиндукции и взаимоиндукции направлены согласно, поэтому имеет место согласное включение магнитносвязанных катушек.

На рис.53в вторая катушка имеет обратное направление намотки. И при выбранных положительных направлениях токов в них направления магнитных потоков и будут противоположны. В результате потоки самоиндукции и взаимоиндукции будут направлены встречно. В данном случае имеет место встречное включение магнитосвязаннх катушек.

Учтём, что напряжение самоиндукции равно минус ЭДС самоиндукции, а напряжение взаимоиндукции равно минус ЭДС взаимоиндукции. Тогда для рис.53а получим:

; (101)

; (102)

Для рис.53в получим:

; (103)

. (104)

Сердечники катушек на электрических схемах обычно не изображаются, ограничиваясь тем, что одноимённые зажимы (например, начало катушек) помечают одинаковыми значками, например точками или звездочками (рис. 53 б,г).

Если на схеме токи двух магнитосвзязанных катушек входят в одноимённые зажимы, то имеет место согласное включение (рис. 53б), а если в разноимённые – то встречные (рис. 53г).

На примере схемы рис.54 рассмотрим методику составления уравнений для расчёта магнитосвязанных цепей.

Рис.54. Электрическая схема с магнитосвязанными катушками

Произвольно выберем положительные направления тока в ветвях. Направление обхода обоих независимых контуров выберем по часовой стрелке. Составим уравнения для мгновенных значений по законам Кирхгофа:

. (105)

Для левого контура:

. (106)

Перед слагаемым поставлен тот же знак, что и перед, так как ток и ток входят в одноимённые зажимы магнитосвязанных катушек, то есть имеет место согласное включение. Сумма слагаемых и - есть падение напряжения в первой катушке с учётом явлений самоиндукции и взаимоиндукции.

Для правого контура:

. (107)

– падение напряжения в третьей катушке с учётом явлений самоиндукции и взаимоиндукции.

Перейдём к комплексным изображениям:

;

; (108)

;

Сгруппируем слагаемые по токам:

;

; (109)

;

Дата добавления: 2014-01-07