КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Постановка задачи численного метода решения дифференциальных уравненийВведение Инженерные исследования динамики процессов, протекающих в механизмах, реакторах, локальных системах стабилизации параметров технологических процессов, трубопроводах, теплообменных процессах и других химических объектах приводят к дифференциальным уравнениям, т.е. уравнениям, содержащим производные. Например: уравнение колебания массы под воздействием силы, изменение концентрации растворов, уравнение накопления и стекания заряда на обкладках конденсатора. Классические методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений часто на практике либо приводят к сложным решениям, либо вообще неприменимы (коэффициенты или функции в дифференциальном уравнении содержат существенные нелинейности либо заданы в виде таблиц экспериментальных данных). Поэтому большое значение приобретают методы приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, которые в зависимости от формы представления решения можно разделить (условно) на три группы: 1) аналитические, дающие приближенное решение дифференциального уравнения в виде аналитического выражения; 2) графические, дающие приближенное решение в виде графика; 3) численные, дающие приближенное решение в виде таблицы. Рассмотрим численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Дано обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка у' = f (х, у). (1) Тре6уется найти решение y=y(х) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию у(х0) == y0. (2) Такая задача называется задачей Коши. Геометрический смысл ее решения состоит в нахождении интегральной кривой у=у(х), проходящей через заданную точку А0 (х0,у0) (рис. 1). Существуют следующие постановки задачи Коши: · дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной: y' = f(x,y) y(x0) = y0, · система n дифференциальных уравнений первого порядка, разрешённая относительно производных (нормальная система n -го порядка): · дифференциальное уравнение n -го порядка y(n)=f(x,y,y',…y(n-1)), разрешённое относительно старшей производной y(n): Численное решение задачи Коши состоит в нахождении значений y1, y2,...,уn в точках х1=х0+h, х2=х0+2h,…, хn=хо+nh отрезка [a, b], где h - шаг интегрирования, х0=а, хn=b.
Нанеся точки (хо,уо), (х1,у1),...,(хn,уn) на координатную плоскость и соединив отрезками прямой, получим ломаную линию, называемую ломаной Эйлера, - приближенное изображение интегральной кривой (рис.2). Самый простой и менее точный - метод Эйлера (метод первого порядка точности, расчетные формулы (4)). Наиболее распространенным является метод Рунге-Кутта (метод четвертого порядка точности, расчетные формулы (5)). Последовательность вычислений по указанным методам следующая: 1. Разбиваем отрезок [а,b] на n равных частей точками хi=хо+ih (i = 1. 2...., n), где шаг h =(b-a)/n, хо=а, хn=b. 2. Находим решение уравнения, рассчитывая для каждого i (i=0,1,2,…,n) значения yi+1 = yi + Δyi, (3) где Δyi= k1(i) (4) для метода Эйлера и Δyi=1/6(k1(i)+2 k2(i)+ 2k3(i) + k4(i)) (5) для метода Рунге-Кутта. Коэффициенты kj(i), j=1,4 для выражений (4) и (5) определяются по следующим формулам: k1(i)=hf(xi,yi); k2(i)=hf(xi+h/2, yi+ k1(i)/2); k3(i)=hf(xi+h/2, yi+ k2(i)/2); k4(i)=hf(xi+h, yi+ k3(i)). Для выполнения вычислений по методу Рунге-Кутта вручную удобно пользоваться схемой, приведенной в табл. 33. Ориентировочную оценку погрешности метода Рунге-Кутта ε можно вычислить по формуле (6) ε=|y2h - yh|/15. (6) Метод Рунге-Кутта является одним из методов повышенной точности и, несмотря на свою трудоемкость, широко используется при численном решении, как дифференциальных уравнений, так и систем дифференциальных уравнений. Среди встроенных функций SMath Studio для численного решения дифференциальных уравнений есть встроенная функция, реализующая метод Рунге – Кутта с постоянным фиксированным шагом. Она имеет вид: rkfixed(v,x0,xk,n,F). Здесь v - начальные условия, записанные в виде вектора, x0, xk – начальное и конечное значения аргумента, n- число шагов, F- правые части системы, записанные в виде вектора. Длина шага интегрирования определяется выражением h=(xk-x0)/n. Как и большинство методов численного решения дифференциальных уравнений, метод Рунге – Кутта требует предварительного представления дифференциального уравнения n-го порядка в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка: Преобразование дифференциального уравнения в систему уравнений будет рассмотрен при решении примеров. Отметим, что в последних версиях MathCad появилась функция odesolve(х, b) (ordinary differential equation solution – решение обыкновенного дифференциального уравнения), позволяющая решать уравнение без его преобразования. Здесь х – переменная интегрирования, b- верхняя граница изменения аргумента. Нижняя граница равна нулю.
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1243; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |