Приведение уравнений к виду, пригодному для метода простой итерации

Для метода простой итерации не безразличен способ записи уравнения в виде х=g(х). Кроме того, оказывается, что используемое для уточнения одного корня представление х=g(х) может оказаться непригодным в окрестности другого корня этого же уравнения, и наоборот.

Способ 1. Если f(x) содержит в себе выражение некоторой обратимой на [с; d] функции у= Y(x), причем такой, что на [с; d], то следует попытаться заменить уравнение с использованием обратной для Y функции j: x=j(у). Этот способ основан на известном соотношении между производными взаимообратных функций j¢(y)=1/y¢(x) и следствии из него:

Способ 2. В случае когда способ 1 применить трудно или он не дает нужного результата, можно использовать следующий способ.

Пусть дано уравнение с единственным корнем в [а; b]. Предположим, что на введенном в теореме отрезке [с; d] производная f' функции f непрерывна, не равна константе и принимает значения одного и того же знака. Будем считать, что f'(x)>0, ибо в противном случае можно рассматривать равносильное уравнение., , и. Ясно, что 0£q<1. Заменим х=g(х) эквивалентным уравнением x=x-kf(x). Для функции g (х)=х—kf(x) на [с; d] имеет место свойство .

Дата добавления: 2014-01-07