Лекция 9. принятие решений в условиях неопределённости

Критерий Байеса (максимизации среднего выигрыша)

Критерии принятия решения при известных вероятностях состояний природы (Байеса, Лапласа)

Критерии принятия оптимальных управленческих решений в статистических играх формулируются на основе здравого смысла, интуиции и практической целесообразности. Они помогают оценить принимаемое решение с различных позиций и избежать ошибок в экономической ситуации.

Существуют две группы критериев – использующие и не использующие априорные вероятности состояний природы.

Если вероятности состояний природы известны, то для нахождения оптимального управленческого решения ЛПР применяют критерии Байеса и Лапласа, которые используют понятие среднего значения выигрыша и среднего значения риска статистика.

Применяют следующие варианты выбора наилучших решений:

1. Известны вероятности состояния внешней среды. Тогда лучим решением является то, при котором среднее ожидаемое значение выигрыша максимально. Оно определяется как сумма произведений выигрышей на соответствующие вероятности различных вариантов.

2. Вероятности возможных поведений внешней среды неизвестны, но имеются сведения об их относительных величинах. В этом случае делается допущение об одинаковой вероятности появления различных событий, и поступают, как в первом варианте, либо вероятности наступления событий устанавливают на основе оценок экспертов.

В зависимости от этого, последствия решений можно оценить через систему критериев, предусматривающих различную степень риска.

· Показатель оптимальности стратегии - величина среднего выигрыша.

За оптимальную стратегию принимается чистая стратегия , при которой максимизируется средний выигрыш статистика

. (4)

· Показатель оптимальности стратегии - величина среднего риска.

За оптимальную стратегию принимается чистая стратегия , при которой минимизируется средний риск

. (5)

Байесовское решение является оптимальным не в каждом отдельном случае, а в среднем. Такого рода оптимальность реально может проявить себя лишь при многократном проведении операции, когда среднее значение постепенно стабилизируется.

Применение критерия Байеса оправданно, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется признаками:

§ вероятности состояний природы известны и не зависят от времени;

§ решение реализуется большое (теоретически бесконечное) число раз.

Пример 2. Фирма купила станок за 100 ден. ед. Для его ремонта можно купить специальное оборудование за 50 ед. или обойтись старым оборудованием. Если станок выходит из строя, его ремонт с помощью спецоборудования обходится в 10 ед., без спецоборудования - в 40 ед.

Известно, что в течение срока эксплуатации станок выходит из строя не более трех раз: вероятность того, что станок не сломается - 0,3; сломается 1 раз - 0,4; сломается 2 раза - 0,2; сломается 3 раза - 0,1.

Требуется определить целесообразность приобретения специализированного ремонтного оборудования.

Формализация. Первый игрок имеет две чистые стратегии: покупать и не покупать специализированное ремонтное оборудование. У природы - второго игрока - четыре состояния: станок не выйдет из строя, выйдет один раз, сломается два раза и три раза. Функция выигрыша - затраты фирмы на покупку и ремонт станка, задается платежной матрицей:

	Выход станка из строя
Ремонтное оборудование	ни разу	1 раз	2 раза	3 раза
не купить	-100	-140	-180	-220
купить	-150	-160	-170	-180

Решение.

Рассмотрим сначала эту задачу как антагонистическую игру.

В матрице методом минимакса находим седловую точку: (2,4), таким образом, x* = (0, 1), y* = (0, 0, 0, 1), цена игры v* = - 180 ден. ед.

Ответ: нужно купить специализированное оборудование.

Однако в играх с природой положение коренным образом меняется: уже в условии заложена устойчивая смешанная стратегия природы: у = (0,3; 0,4; 0,2; 0,1) и мы знаем, что именно этой стратегии придерживается природа. Запишем эти вероятности внизу платежной матрицы.

	Выход станка из строя
Ремонтное оборудование	ни разу	1 раз	2 раза	3 раза
не купить	-100	-140	-180	-220
купить	-150	-160	-170	-180

Вероятности 0,3 0,4 0,2 0,1

Если же человек - первый игрок - будет продолжать играть оптимально (применит вторую стратегию «купить»), то его выигрыш составит

v(x*) = - 150 0,3 - 160 0,4 - 170 0,2 - 180 0,1 = - 161;

а если применит первую, неоптимальную стратегию, то математическое ожидание его выигрыша составит

v(x') = - 100 0,3 - 140 0,4 - 180 0,2 - 220 0,1 = - 144.

Таким образом, первому игроку выгодно играть неоптимально!

Ответ: не покупать специализированное оборудование.

Существенное различие между значениями v(x*) и v(x') объясняется тем, что смешанная стратегия природы неоптимальна и она, "отклоняясь" от своей оптимальной стратегии, «недополучает» 36 ден. единиц выигрыша.

3.2. Критерий Лапласа недостаточного основания – «ориентируйся на среднее»

Если состояния природы в равной мере правдоподобны, то их полагают равновероятными, т.е. .

· Показатель оптимальности стратегии - величина среднего выигрыша.

Оптимальной считается чистая стратегия , обеспечивающая максимум среднего выигрыша при одинаковых априорных вероятностях:

. (6)

Применение критерия Лапласа оправданно, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется признаками:

§ вероятности состояний природы неизвестны, не зависят от времени и равны;

§ решение реализуется большое (теоретически бесконечное) число раз;

§ для небольшого числа реализаций допускается некоторый неоцениваемый риск.

Пример 3. Найти оптимальное решение статистической игры, заданной платежной матрицей , применяя критерий Лапласа, считая, что состояния природы равновозможны, т.е. .

Решение

Найдем средние выигрыши статистика :

Найдем наибольший средний выигрыш: .

Значит, по критерию Лапласа оптимальной стратегией статистика, который считает состояния природы равновозможными, будет чистая стратегия .

Гипотеза о равновероятности состояний природы является довольно искусственной, поэтому принципом Лапласа можно пользоваться лишь в ограниченных случаях. В более общем случае следует считать, что состояния природы не равновероятны и использовать для решения критерий Байеса-Лапласа.

Контрольные вопросы

1. Перечислите источники неопределенности и риска.

2. Дайте классификацию решений, принимаемых в различных условиях.

3. Назовите несколько определений риска.

4. По каким признакам классифицируются риски?

5. Что значит «управлять риском»?

6. Перечислите правила, с помощью которых проводится выбор способа управления риском и варианта решения.

7. Что понимается под качественной и количественной оценками риска?

8. Что понимается под играми с природой?

9. Какие критерии применяются для выбора оптимальной стратегии в условиях риска?

10. Как найти средний выигрыш игрока при известных вероятностях стратегий и при неизвестных вероятностях?

11. Поясните принципы использования моделей теории игр в экономических задачах в условиях неопределенности (игры с природой).

12. Что понимается под риском игрока?

13. Как найти элементы матрицы рисков? Что показывают эти величины?

14. Когда пользуются критериями Байеса и Лапласа? Опишите правила выбора оптимальной стратегии статистика с применением этих критериев. Что показывают вероятности в этих критериях?

Содержание

1. Максиминный критерий Вальда.

2. Критерий Сэвиджа (минимаксного риска).

3. Критерий Гурвица (пессимизма-оптимизма).

1. Максиминный критерий Вальда (критерий крайнего пессимизма)

(«рассчитывай на худшее»)

В группу критериев выбора оптимальной стратегии статистика, применяемых при неизвестных априорных вероятностяхсостояний природы, входят критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица. Они используют анализ платежной матрицы либо матрицы рисков.

Если распределение вероятностей будущих состояний природы неизвестно, то вся информация о природе сводится к перечню ее возможных состояний.

Максиминный критерий Вальда – это критерий крайнего пессимизма, или критерий осторожного наблюдателя. Его можно сформулировать как для чистых, так и для смешанных стратегий.

Критерий Вальда является критерием крайнего пессимизма, так как статистик предполагает, что природа реализует такие состояния, при которых величина его выигрыша принимает наименьшее значение.

Критерий тождественен максиминному (пессимистическому) критерию, используемому при решении матричных игр в чистых стратегиях.

Из каждой строки выбираются минимальные элементы, т.е. которые соответствуют наихудшему результату ЛПР при известных состояниях «природы» . Затем выбирается стратегия ЛПР, соответствующая максимальномуэлементу из отобранных минимальных:

. (1)

Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск, поскольку ЛПР не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется.

Применение данного критерия оправданно, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими признаками:

§ вероятности состояний «природы» неизвестны;

§ необходимо считаться с наихудшим из возможных вариантов;

§ решение реализуется только один раз или малое количество раз;

§ полная недопустимость риска.

Таким образом, оптимальной по критерию Вальда считается чистая стратегия , которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш. Значит, оптимальной будет максиминная чистая стратегия, а максимальным выигрышем – нижняя чистая цена игры в парной игре с нулевой суммой.

Дата добавления: 2014-01-07