Частотные критерии устойчивости

Развитие теории автоматического управления привело к созданию новых методов анализа САУ. В этом отношении наиболее плодотворными оказались методы, ранее использовавшиеся в радиотехнике (в частности, при анализе работы усилителей с отрицательной обратной связью), так называемые частотные методы.

Наиболее важное открытие в этой области было сделано советским ученым А. В. Михайловым, который в 1938 г. впервые предложил применить частотные методы для анализа устойчивости систем автоматического управления. А. В. Михайлов создал критерий устойчивости (называемый его именем), основанный на рассмотрении поведения замкнутой системы при подаче на ее вход гармонического колебания с частотой, изменяющейся от нуля до бесконечности. Критерий устойчивости Михайлова позволяет оценить устойчивость замкнутой системы по характеристическому уравнению замкнутой системы.

По существу критерий Михайлова также основан на определении знаков корней характеристического уравнения системы, но при этом нет необходимости в определении значений корней, т. е. в решении характеристического уравнения.

Помимо критерия Михайлова, применяющегося для анализа замкнутых систем автоматического управления, возможен и другой метод выяснения устойчивости системы, когда об устойчивости замкнутой системы судят по амплитудно-фазовой или частотным характеристикам разомкнутой системы. Этот метод, называемый критерием Найквиста, получил в настоящее время наиболее широкое распространение благодаря его простоте, богатству физического содержания, наглядности результатов, легкости постановки эксперимента для проверки расчетов или получения недостающих сведений и отсутствию сложных вычислений.

Критерий Найквиста позволяет связать стационарные частотные свойства разомкнутой системы с нестационарными свойствами замкнутой системы.

Для исследования замкнутой системы на устойчивость при применении критерия Найквиста эту систему разрывают в какой-либо точке соединения двух звеньев. При этом замкнутая система превращается в разомкнутую. Точка разрыва должна обладать свойством детектирования, т. е. в этом месте не должно быть реакции последующего звена на предыдущее.

На образованный в точке разрыва вход системы подается колебание постоянной амплитуды x и частоты ω. Пройдя через систему, это колебание появится на выходе системы в виде колебаний той же частоты, но с амплитудой и фазой, отличающимися от тех же параметров входного колебания.

Критерий устойчивости Найквиста формулируется следующим образом: если в системе, устойчивой в разомкнутом состоянии, годограф амплитудно-фазовой характеристики не охватывает точку с координатами (-1, j 0), то эта систем а будет устойчивой и в замкнутом состоянии (кривая 1 на рис. 5.5); если же годограф охватывает эту точку, то в замкнутом состоянии система будет неустойчивой (кривая 2).

Выражение «охватывает» можно пояснить следующим образом: если из точки с координатами (-1, j 0) построить вектор ко всем точкам амплитудно-фазовой характеристики, то при изменении частоты от 0 до ∞ у устойчивой системы суммарный поворот этого вектора будет равен 0, а у неустойчивой -2 π. При этом в астатических системах для определения суммарного угла поворота этого вектора необходимо дополнить годограф амплитудно-фазовой характеристики дугой бесконечно большого радиуса, соединяющей точку годографа при ω →0 с действительной осью (кривая 3).

Об устойчивости можно также судить по амплитудно-частотным и фазо-частотным характеристикам. При этом у системы, устойчивой в разомкнутом и замкнутом состояниях, на частоте ω_ср при которой амплитудно-частотная характеристика проходит через уровень 1, фазо-частотная характеристика не должна достигать уровня –π; или, что то же самое, при частоте ω_кр, на которой фазо-частотная характеристика проходит через уровень –π, амплитудно-частотная характеристика должна иметь значение меньше 1.

Амплитудно-фазовая характеристика может быть определена как расчетным (по амплитудно-фазовым характеристикам отдельных звеньев), так и экспериментальным путем. В последнем случае производится измерение амплитуды и фазы входного и выходного колебаний при различных частотах и строятся частотные или амплитудно-фазовые характеристики. Эти два метода (расчетный и экспериментальный) определения амплитудно-фазовой характеристики могут сочетаться, т. е. могут рассчитываться характеристики некоторых звеньев и экспериментально определяться характеристики других звеньев. Возможность такого сочетания является большим достоинством этого метода анализа систем автоматического управления.

Если амплитудно-фазовая характеристика проходит через точку с координатами (-1, j 0), то система будет находиться на границе неустойчивости; следовательно, граница неустойчивости имеет место при совпадении частоты среза системы с критической частотой. Граница неустойчивости означает наличие незатухающих гармонических колебаний в системе при отсутствии входного сигнала; это полностью соответствует известному из курса «Радиотехнические цепи и сигналы» условию возникновения колебаний в случае, если в замкнутой системе имеет место равенство фаз и амплитуд входного и выходного колебаний (кривая 4, на рис. 5.5)

Действительно, после прохождения сигнала через систему, находящуюся на границе неустойчивости, выходной сигнал будет иметь такую же амплитуду, как и входной сигнал, и фазу, отличающуюся на –π. Так как при замыкании системы выходной сигнал подается на вход в противофазе, т. е. дополнительно поворачивается на –π, то в этом случае будет иметь место равенство фаз и амплитуд, что создает условия для возникновения колебаний.

Поясним физический смысл рассматриваемого критерия устойчивости. Рассмотрим замкнутую систему, в которой под влиянием какого-то внешнего воздействия возникли затухающие колебания. Будем изменять один из параметров системы (наиболее наглядным является изменение коэффициента усиления) в такую сторону, чтобы в системе уменьшалось затухание; тогда при каком-то значении этого параметра система станет неустойчивой, т. е. в ней воз- никнут незатухающие колебания с некоторой частотой ω_кр. Сохранив последнее значение изменяемого параметра системы, разорвем ее в какой-то точке и подадим на вход колебание, имеющее частоту ω_кр. При этом модуль амплитудно-фазовой характеристики будет равен 1, а аргумент 0, так как иначе замкнутая система не могла бы поддерживать незатухающие колебания с дан- ной частотой. Если еще больше изменить данный параметр, что приведет к дальнейшему уменьшению устойчивости, то при частоте, которой соответствует φ(ω)= 0, модуль амплитудно-фазовой характеристики будет больше 1. Это означает, что сигнал после каждого прохода по разомкнутой системе будет возвращаться усиленным, т. е. амплитуда колебаний в замкнутой системе будет нарастать.

В более сложных случаях при анализе сложных систем, у которых годограф ККП несколько раз пересекает отрицательную действительную полуось, необходимо применять следующую формулировку критерия Найквиста: Если годограф амплитудно-фазовой характеристоки системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии (это может быть следствием наличия колебательных звеньев в системе или местных обратных связей) имеет разность между числами переходов сверху вниз и снизу вверх на участке действительной оси между -∞ и -1, paвную т /2 (где т — число корней с положительной вещественной частью в характеристическом уравнении системы), то такая система будет устойчивой. В частном случае, когда все корни характеристического уравнения имеют отрицательную вещественную часть (m =0), соответственно в устойчивой системе число переходов этого участка действительной оси равно нулю.

На рис. 5.8 дан годограф ККП системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии и устойчивой в замкнутом состоянии, характеристическое уравнение которой имеет два корня с положительной вещественной частью.

Ранее неоднократно отмечались преимущества метода логарифмических характеристик, особенно для сложных систем. Это в равной мере относится и к анализу устойчивости. Для простых систем, устойчивых в разомкнутом состоянии, анализ устойчивости по логарифмическим характеристикам полностью аналогичен анализу устойчивости по обычным амплитудно- и фазо-частотным характеристикам. Таким образом, если в системе ω_ср < ω_кр а, то она устойчива; если ω_ср = ω_кр, то система находится на границе неустойчивости; и, наконец, если ω_ср > ω_кр, то система неустойчива.

Запасы устойчивости определяются по логарифмическим частотным характеристикам таким же способом, как и по обычным частотным характеристикам. Следует только учитывать, что запас устойчивости по амплитуде (усилению) ΔА будет выражен в децибелах. Обычно считаются приемлемыми запасы устойчивости ΔА =10…20 дб и Δφ = 30…40 градусов.

Дата добавления: 2014-01-07