Дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

В самом деле,

Абсолютная сходимость рядов позволяет выполнить указанные преобразования.

Рассмотрим две случайные величины Х и Y с такими законами распределения:

xi	-0,1		0,1		yj	-1000
pi	0,3	0,4	0,3	qi	0,3	0,4	0,3

У этих случайных величин одинаковые, равные нулю, математические ожидания. Но значения случайной величины Х близки к ее среднему, а значения случайной величины Y далеко отстоят от нуля. Судить о разбросе значений случайной величины относительно ее среднего по значению самого математического ожидания нельзя. Нужна другая числовая характеристика. Одной из самых распространенных мер разброса значений случайной величины относительно ее среднего значения является дисперсия.

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания (под отклонением здесь понимается разность). Обозначается дисперсия символом D (X).

Таким образом,

(9.3)

Раскроем скобки в формуле, определяющей дисперсию:

Раскрывая скобки, мы использовали известные свойства математического ожидания. Итак,

(9.4)

Именно по этой формуле дисперсия чаще всего и вычисляется.

Пример 7. Вычислим дисперсии случайных величин Х и Y, описанных в начале этого пункта. Сначала составим законы распределения величин Х ² и Y ²

xi ^2		0,01		yj ^2		10^6
pi	0,4	0,6	qi	0,4	0,6

M (X ²) = 0·0,4 + 0,01·0,6 = 0,006; D (X) = M (X ²) - [ M (X)]² = 0,006;

M (Y ²) = 0·0,4 + 10⁶·0,6 = 600000; D (Y) = M (Y ²) - [ M (Y)]² = 600 000.

Дисперсия случайной величины Y в сто миллионов раз больше, чем дисперсия случайной величины Х.

Пример 8. Дисперсия линейной функции от случайной величины.

В частности, D (aX) = a ² D (X), D (b) = 0.

Мы вновь воспользовались известными свойствами математического ожидания.

Пример 9. Найдем дисперсию случайной величины Х, имеющей распределение Пуассона.

Окончательно

Дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна ее математическому ожиданию.

Пример 10. В общем случае дисперсия суммы двух случайных величин не равна сумме их дисперсий. Однако дисперсия суммы независимых случайных величин Х и Y равна сумме D (X) + D (Y). Докажем это соотношение.

Заметим, что

Таким образом, дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Средним квадратическим отклонением, или стандартом случайной величины Х, называется корень квадратный из ее дисперсии. Обычно применяют одно из двух обозначений:

(9.5)

Из определения дисперсии как математического ожидания квадрата случайной величины следует, что дисперсия не может быть меньше нуля, поэтому из ее значения всегда можно извлечь квадратный корень.

Дата добавления: 2014-01-07