Механико-математические модели термоупруго/вязкопластических и упруго/вязкопластических тел

Вообще говоря, реальные материалы в той или иной степени обладают всеми тремя характерными механическими свойствами — упругими, вязкими и пластическими. Их проявление зависит от тех условий, при которых тело находится, и типа нагружения. Так, например, наличие температурного поля влияет на механические свойства тела. С ростом температуры тепловые колебания атомов усиливаются и облегчается активация механизма вязкопластического течения материала, т.е. тело проявляет в более сильной форме свои вязкие и пластические свойства. При динамическом нагружении также облегчается активация микромеханизма вязкопластических деформаций, и в этом случае тела имеют резко выраженный вязкопластический характер.

Для описания названных свойств особо подходящими являются модели, основанные на термодинамике тела с внутренними параметрами состояния. Эти параметры подбираются так, чтобы при их помощи можно было описывать на макроуровне пластическое и вязкое поведение тела. Определяющие уравнения для тел такого типа, вообще говоря, будут иметь вид Вместе с тем нужно задать вид функции удельной свободной энтальпии и уравнение для , зависящее от уравнений эволюции внутренних параметров состояния.

Наличие вязких свойств приводит к существенной зависимости механического поведения тела от времени (тело проявляет ползучесть, релаксирует и т.д.). Наличие пластических свойств вызывает появление остаточных деформаций и структурных изменений в теле. У одних материалов вязкие свойства проявляются в значительной степени еще при малых напряжениях и деформациях задолго до достижения предела текучести материала. У других материалов вязкие свойства проявляются вместе с пластическими за пределом текучести при статическом нагружении. Имеются материалы, у которых нет четко выраженного предела текучести, и все три типа свойств проявляются еще в области малых напряжений и деформаций. Это разнообразие проявления свойств является причиной построения различных механико-математических моделей тел; некоторые из них будут рассмотрены ниже.

Широкая группа материалов до достижения условия текучести материала при статическом нагружении (так называемого статического условия текучести) проявляет главным образом упругие и термоупругие свойства. При превышении этого предела развиваются вязкопластические деформации, при которых свойства тела становятся функциями времени и возникают необратимые структурные изменения материала. Для кристаллических тел микромеханизм вязкопластического деформирования связан с движением дислокаций в определенных на- правлениях. Их движению способствуют усиленные тепловые колебания атомов. У высокомолекулярных полимерных тел этот тип деформаций связан с химической реакцией распада, приводящей к разрыву связей полимерных цепей, образованию более низкомолекулярного полимера и образованию множества субмикротрещин. Эти вязкопластические свойства материала на макроуровне можно описать посредством тензора второго ранга (внутреннего параметра состояния), связанного с плотностью соответствующего типа микродефектов в структуре материала. Если, кроме того, материал обладает свойством пластического упрочнения, то его можно описать посредством параметра пластического упрочнения , также связанного с плотностью микродефектов в единице объема тела. При такой системе внутренних параметров состояния скорость неупругого деформирования выражается следующим образом:

(1.1)

где

(1.2)

Здесь и — функции состояния системы. Условие представляет собой статическое условие неупругого деформирования материала. Для вязкопластического деформирования бесконечно малой окрестности данной точки тела необходимо, чтобы состояние элементарной области к этой точке удовлетворяло условию . Путем задания частого вида уравнений эволюции параметров ии выбора функций и F можно получить различные механико-математические модели. Эти уравнения можно представить в виде

при F> 0, (1.3)

При помощи (1.3) равенство (1.1) преобразуется к виду

(1.4)

при F>0.

Вид зависимостей определяется выбором функций и Имеется ряд вязкопластических теорий, в которых используются функции различного типа. Выбор этих функций основан на экспериментальных результатах, полученных для реальных материалов с вязкопластическими свойствами рассматриваемого типа. Предложена и получила дальнейшее развитие модель вязкопластического тела на основе следующих предположений.

а) Существует функция состояния F, зависящая от параметров состояния и такая, что F= 0 является условием неупругого деформирования материала при статическом нагружении.

б) Скорость неупругого деформирования материала для тех точек тела, для которых не равна нулю. Эта скорость тем больше, чем больше значение функции в рассматриваемой точке.

в) Считается, что при изотермической деформации выполняется постулат устойчивости Друккера для неупругих материалов. В силу этого постулата, если к телу, находящемуся под действием определенной системы поверхностных и объемных сил, приложить некоторое дополнительное нагружение, то работа, совершаемая этой дополнительной системой сил, является положительной. Если при помощи дополнительных сил осуществить полный цикл нагружения и разгрузки, то они в течение этого цикла совершают неотрицательную работу. Постулат устойчивости материала выделяет класс материалов, для которых малым внешним изменениям нагружения соответствуют малые изменения внутри тела. Этот постулат можно записать в виде

(1.5)

где и напряжения и скорости деформации, соответствующие двум состояниям тела в процессе дополнительного изменения нагрузки, протекающего в интервале времени Если рассмотреть замкнутый цикл напряжений (приложение и снятие дополнительного нагружения) и начать с такого напряженного состояния для которого то ему будет соответствовать скорость неупругой деформации Ввиду обратимости упругой части деформации, при замкнутом цикле упругая часть мощности обратится в нуль и (1.5) примет вид

(1.6)

Работа неупругой деформации совершается не в течение всего прo-цесса а только в интервале времени которому в пространстве напряжений соответствует область, расположенная выше поверхности . Если применимость постулата распространить от всего тела на любую бесконечно малую окрестность точек тела, то из (1.6) получается условие Друккера о локальной устойчивости материала

(1.7)

Рассматривая малый интервал времени и разлагая (1.7) в ряд Тейлора в окрестности момента времени получим неравенства постулата Друккера о локальной устойчивости неупругого материала во времени

(1.8)

и

(1.9)

Из этих неравенств, как и в случае пластически деформируемых материалов, следует, что статическое условие неупругого течения в пространстве напряжений изображает выпуклую поверхность и вектор скорости неупругой деформации ортогонален к ней при фиксированных и .

г) Материал является неупруго несжимаемым, т.е.

д) Пластические и вязкие характеристики материала зависят от температуры.

После этих предположений функция принимает вид

(1.10)

при

при

В (1.10) —коэффициент вязкости, зависящий от температуры . Функция для некоторых материалов экспериментально определена. Функция Ф описывает вязкопластические свойства материала и также определяется экспериментально. Для этой функции, исходя из аналитической аппроксимации экспериментальных результатов, чаще всего применяют степенную или экспоненциальную зависимость, т.е. полагают или и т.д.

Как видно из (1.6), тензор пропорционален градиенту что является следствием предположения (в). Предположение (г) требует независимости от первого инварианта тензора напряжений. Из предположения (б) следует, что должна быть возрастающей функцией В качестве условий неупругого деформирования при статическом нагружении можно принять различные условия текучести. Чаще всего применяют условие типа

(1.11)

Если ввести понятие об активных напряжениях, т.е. положить то условие (1.11) приводится к виду

(1.12)

где тензор микронапряжений, который в случае упругопластических тел совпадает сМожно использовать также .

При помощи условия типа Мизеса соотношения (1.12) принимают вид

(1.13)

где — единичный изотропный тензор четвертого ранга с постоянными компонентами, , а — предел текучести при чистом сдвиге и статическом нагружении, являющийся, вообще говоря, функцией параметра упрочения и абсолютной температуры . Если неупругая деформация вызывает изменение условия неупругого деформирования кинематического типа, условие (1.13) принимает вид

(1.14)

Для неупруго сжимаемых материалов, например грунтов и др., пред­положение (г) неприменимо. Для них предполагают, что вообще говоря, является функцией всех трех инвариантов тензора напряжений.

Если условие неупругого деформирования относится к изотропному типу, тогда не будет зависеть от и (1.14) преобразуется следующим образом:

(1.15).

Если отсутствует пластическое упрочнение, то не будет зависеть от и Часто вместо параметра внутреннего состояния в качестве внутреннего параметра состояния используется сама неупругая деформация . В этом случае можно использовать приведенные выше формулы, заменяя в них на Зависимость (1.10) дает основание считать, что скорость неупругой деформации имеет потенциал и функция удовлетворяет условию Липшица, т.е.

при F>0. (1.16)

Некоторые авторы для скорости неупругой деформации вводят непосредственно выражение вида (1116). При этом существование потенциальной функции П определяют ее характер и обосновывает при помощи микроструктурного анализа механизм вязкопластической деформации. Эти теории строятся на основе следующих предположений.

а) Материалы кристаллической структуры состоят из монокристаллов, в которых имеются определенные кристаллографические направления скольжения. При скольжении обе части кристалла перемещаются одна относительно другой. В монокристалле имеется определенное число систем скольжения. Любая система скольжения состоит из параллельных плоскостей, для которых имеется фиксированное направление скольжения.

б) В зависимости от ориентации кристалла по отношению к внешнему воздействию и его величины скольжение будет иметь место в одной или нескольких системах, если приведенное напряжение в соответствующем направлении превысит определенное значение (т.е. считается, что к монокристаллам применим закон Шмидта).

в) Скольжение имеет место вследствие перемещений дислокаций. Дислокации как линейные дефекты кристаллической структуры вызывают внутренние напряжения. Чтобы возникло перемещение дислокаций и вместе с ним скольжение в определенной системе, необходимо преодолеть, с одной стороны, межатомные силы, а с другой, силы противодействия со стороны других дефектов. В макромасштабе преодоление этих сил проявляется как превышение статического условия текучести в некоторой бесконечно малой окрестности рассматриваемой точки. Тепловая активация атомов облегчает передвижение дислокаций.

При этих допущениях скорость неупругой деформации монокристалла выражается формулой

(1.17)

где единичный нормальный вектор r-ой системы скольжения, а единичный вектор направления скольжения этой системы, скорость относительного перемещения двух параллельных плоскостей r-ой системы, находящихся на расстоянии, равном единице. В случае вязкопластической деформации скорость определяется выражением вида

при (1.18)

где приведенное касательное напряжение (). Функция при служит условием осуществления скольжения в r-ой системе, т. е.

где m — число всех механизмов. Суммирование в (1.17) ведется по всем активным механизмам (r). Данный механизм является активным, если для него или при (т.е. когда приведенное касательное напряжение в направлении скольжения r-й системы превышает соответствующее предельное значение). При определенных условиях — малых скоростях деформации и умеренных температурах — в этих выражениях можно перейти к случаю пластического тела. Согласно теориям скольжения, пластическая деформация является частным случаем более общего типа вязкопластической деформации тел. В рассматриваемом случае параметры играют роль внутренних параметров состояния с уравнениями эволюции (1.18). Уравнение (1.17) можно записать через потенциальную функцию, если ввести функции

при (1.19)

С их помощью для монокристалла вводится потенциальная функция П:

(1.20)

причем суммирование производится по всем активным механизмам для которых Тогда при помощи (1.20) уравнение (1.17) приводится к виду

при (1.21)

с суммированием по всем активным механизмам скольжения . Полученные для монокристалла результаты могут служить основой при построении потенциальной функции для поликристаллического элементарного объема. В этом случае при помощи статистического усреднения определяется потенциальная функция элементарного объема представляющего собой поликристаллический агрегат, и условие неупругого деформирования вводится следующим образом:

(1.21)

где П и F — соответственно потенциальная функция и условие неупругого деформирования для монокристаллов, входящих в состав поликристаллического элементарного объема , При помощи (1.22) получаем уравнение для вида (1.16). Функцию П можно выбрать в форме

(1.23)

где

(1.24)

Можно также исходить из представления о микромеханизме вязкопластического течения как о комбинации двух эффектов: эффекта скольжения, при котором скольжение осуществляется после превышения приведенным касательным напряжением соответствующего предельного значения, и эффекта, связанного с тепловой активацией процесса вязкопластической деформации. Тепловая активация атомов способствует движению дислокаций, Существует определенный энергетический барьер, при превышении которого процесс активируется термически. Чем энергетическое состояние в рассматриваемой точке тела выше энергетического барьера, тем с большей скоростью будет протекать процесс вязкопластической деформации.

Мы предлагаем следующее обобщение одномерных результатов на трехмерный случай. За меру энергетического состояния в данной точке принимается удельная свободная энтальпия z, которая имеет определенное предельное значение , описывающее в макромасштабе соответствующий энергетический барьер. Влияние разности в макромасштабе описывается функцией F. При этих допущениях скорость неупругого деформирования имеет вид

при F>0 (11.25)

где структурный коэффициент, зависящий от температуры — характерная функция, которая в одномерных случаях определяется как степенная экспонента или гиперболический синус. Поскольку используется условие устойчивости Друккера для неупругих материалов, тензор пропорционален градиенту Второй множитель в (1.25) имеет экспоненциальный вид, так как считаем, что вероятность процесса активации определяется путем статистического усреднения из закона распределения Больцмана. Когда влияние величин и . на первые два множителя мало, можно. принять

при

и получить определяющее уравнение (1.10). В других случаях, например для полимерных материалов с высокомолекулярной структурой, неупругая деформация связана не с механизмом скольжения, а главным образом с процессом термической активации и образования микротрещин. В этом случае можно положить

Если статическое условие неупругого деформирования принято в виде (1.11) или (1.12). то

и скорость неупругой деформации пропорциональна градиенту Для материалов, не обладающих пластическим упрочнением, когда уравнение (1.10) можно записать в виде

(1.26)

Применяя закон скорости неупругого течения вида (1.26) вместе с условиями (1.13), (1.14) или (1.15) при нужно учесть, что в первом случае

во втором и в третьем Тогда соответственно получим

(1.27)

или

(1.28)

или

(1.29)

Влияние температуры в формулах (1.27) — (1.28) отражено через изменение коэффициента вязкости (растущего вместе с ростом температуры) и предела текучести (вообще говоря, убывающего с ростом температуры). Конкретные выражения для функций и найденные экспериментально для некоторых материалов.

Если равенство (1.29) умножить тензорно само на себя, то для получим

(1.30)

где — функция, обратная функции Ф. Это уравнение можно интерпретировать как динамическое условие неупругого деформирования типа Мизеса о Динамический предел неупругого деформирования

зависит от статического предела температуры и скорости неупругой деформации В данном случае влияние скорости деформации проявляется в виде своеобразного изотропного упрочнения материала.

Некоторые авторы строят вязкопластические модели, исходя непосредственно из динамического условия неупругого деформирования с соответствующим ассоциированным законом течения. При этом делаются следующие предположения.

а) Обобщенные термодинамические силы и обобщенные термодина-мические потоки связаны, вообще говоря, нелинейными зависимостями, аналогичными зависимостям Онзагера в линейной необратимой термодина-мике. В данном случае это приводит к зависимости между и или, что одно и то же, между и В частном случае можно использовать линейную зависимость

(1.31)

которая имеет вид уравнения Максвелла для линейно-вязко-упругих тел с коэффициентом вязкости

б) Существует динамическое условие неупругого деформирования

(1.32)

Часто считают, что влияние скорости неупругой деформации проявляется как внутренняя вязкость, описываемая, например. (1.31). В этом случае можно ввести активные напряжения по формуле

(1.33)

и принять, что зависит от.и через

(1.34)

Одним из часто применяемых динамических условий (1.34) служит условие типа условия Мизеса

(1.35)

в) Материал неупруго несжимаемый, т.е. и, следовательно,

(1.36)

г) Скорость неупругой деформации пропорциональна градиенту функции динамического неупругого деформирования по отношению к напряжениям

При этих предположениях и при допущениях, что неупругое деформирование зависит от активных напряжений (1.33), а динамическое условие неупругого деформирования имеет вид (1.34), для закона течения (такого же, как в теории упругопластических материалов) получаем следующие выражения:

(1.37)

при

если и (нагружение), (1.38)

если и (разгрузка),

или (область упругости).

При этих допущениях вектор скорости неупругой деформации ортогонален актуальной поверхности динамического неупругого деформирования как в пространстве напряжений, так и в пространстве активных напряжений. К этому результату можно также прийти, если заменить предположение (г) постулатом Друккера об устойчивости неупругих материалов и вытекающими из него локальными неравенствами (1.8) и (1.9), но при условии, что допустимое напряжение определяется как напряжение, для которого .

Если условие (1.35) ассоциировать с (1.37), то закон неупругого течения запишется в виде

при (1.39)

В случае изотермического процесса в качестве динамического условия неупругого деформирования принято условие типа (1.30), имеющее вид

(1.40)

где предел текучести при чистом сдвиге и статическом нагружении. Вообще говоря, он является функцией температуры и параметра упрочнения .

Рассматривая условие неупругого деформирования (1.40) совместно с законом неупругого течения вида (1.37), получаем

(1.41)

Предложенные выше определяющие уравнения для скорости неупругого деформирования без особых дополнительных видоизменений могут быть применены и к изотермическому случаю Например, закон неупругого течения (1.29) принимает вид

при (1.42)

где константы материала. Соответствующее этому закону динамическое условие будет иметь вид

(1.43)

Как видно из последнего выражения, если нагружение статическое и скорость неупругого деформирования мала, то корректирующим членом, содержащим можно пренебречь; тогда получается условие текучести Мизеса Переход к пластическому телу в написанном выше соотношении можно выполнить, устремляя к бесконечности, т.е. полагая . Таким образом, вязкопластическое деформирование является более общим случаем, чем пластическое. Это обстоятельство можно объяснить также при помощи микромеханизма пластического и вязкопластического деформирования, который, например, у кристаллических материалов связан в обоих случаях с движением дислокаций и является прежде всего динамическим процессом.

Чтобы получить полную систему определяющих уравнений для рассматриваемого типа тел, необходимо к выражению для добавить выражения для и зависящие от выбора При подходящем выборе функции удельной свободной энтальпии можно получить различные частные случаи упругого и термического поведения тел, а также соответствующие уравнения теплопроводности и неравенства второго закона термодинамики. В качестве иллюстрации приведем эти уравнения для случая, когда они описывают линейно-упругие и термические свойства тела и вязкопластические свойства без пластического упрочнения, заданные законом неупругого деформирования (1.29). В этом случае функцию выбираем в виде

(1.44)

где — тензор четвертого ранга с постоянными коэффициентами, обладающий симметрией и термические постоянные материала. Уравнение для скорости деформации принимает вид

(1.45)

а уравнение эволюции для — вид

(1.46)

Уравнение для температуры принимает форму

(1.47)

где

(1.48)

Учитывая (1.46) и (1.48), уравнение (1.47) можно представить в виде

(1.49)

Неравенство второго принципа термодинамики дает

(1.50)

Таким образом, функция Ф должна быть неотрицательной, так как по определению а по предположению В изотермическом случае уравнение (1.45) запишется в виде

при (1.51)

При простом нагружении можно дополнительно линеаризовать уравнение для При , и 'уравнение для скорости неупругой деформации принимает вид

(1.52)

при

В частных задачах, когда распределение известно, уравнение (1.52) дает линейную связь между и Эта линеаризация облегчает решение конкретных вязкопластических задач и применяется даже при малых отклонениях от простого нагружения. В приложениях часто используется линеаризованная вязкопластическая модель Прагера, представляющая собой своеобразное применение понятия вязкопластического деформирования к кусочно-линейному условию неупругого деформирования типа Треска. Согласно этой модели, закон неупругого течения имеет вид

(1.53)

где

при (1.54)

при

В пространстве главных напряжений описывает плоскости, заданные уравнениями

(1.55)

Если считать, что и являются функциями , то получим линеаризованные определяющие уравнения рассматриваемого типа для термовязкопластических тел.

Дата добавления: 2014-01-07