Монотонные последовательности

Арифметические свойства сходящихся последовательностей

Теорема 1. Если последовательности {x_n} и {y_n} сходятся, то сумма (разность), произведение и частное этих последовательностей (частное при условии, что предел последовательности {y_n}¹0) есть сходящиеся последовательности, пределы которых соответственно равны: сумме (разности), произведению и частному пределов этих последовательностей

Определение 1. Последовательность {x_n} называется невозрастающей (неубывающей) последовательностью, если каждый последующий член этой последовательности не больше (не меньше) предыдущего, т.е. если для "nÎN справедливо неравенство x_n ³ x_{n +1} (x_n £ x_{n +1}). Такие последовательности называются монотонными последовательностями.

Определение 2. Если для всех номеров n элементы последовательности {x_n} удовлетворяют неравенству x_n > x_{n +1}

(x_n < x_{n +1}), то такая последовательность называется убывающей (возрастающей). Убывающие и возрастающие последовательности называются строго монотонными.

Замечание. Отметим, что неубывающие и невозрастающие последовательности ограничены сверху и снизу соответственно своими первыми элементами. Поэтому неубывающая (невозрастающая) последовательность будет ограничена с двух сторон, если она ограничена сверху (снизу).

Введем следующие обозначения:

ù­ {x_n} - невозрастающая последовательность {x_n},

ù¯ {x_n} - неубывающая последовательность {x_n},

­ {x_n} - возрастающая последовательность{x_n},

¯ {x_n} - убывающая последовательность {x_n}.

Пример 1. Последовательность {n,n}=1,1,2,2,...n,n,... неубывающая монотонная. Снизу она ограничена первым элементом - “1”, а сверху не ограничена.

Пример 2. Последовательность возрастающая. Снизу эта последовательность ограничена своим первым элементом , а сверху, например, своим пределом- единицей, т.е. эта последовательность ограничена.

Теперь сформулируем основную теорему о сходимости монотонной последовательности.

Теорема. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.

[ ({x_n }Î)Ù(ù¯ {x_n})]Þ

{x_n }Î c,

[ ({x_n }Î)Ù(ù­ {x_n})]Þ

{x_n }Î c.

Замечание 1. Условие ограниченности монотонной последовательности есть необходимое и достаточное условие ее сходимости.

В самом деле, если монотонная последовательность ограничена, то в силу сформулированной теоремы она сходится.

Если же монотонная последовательность (да и, вообще, любая последовательность) сходится, то она ограничена (см. теорему 2).

Замечание 2. Если последовательность сходится, то она может и не быть монотонной. Так, последовательность сходится и имеет пределом “0”. Однако эта последовательность не является монотонной, т.к. знаки элементов этой последовательности чередуются.

Дата добавления: 2014-01-07