Подпоследовательности числовых последовательностей

Пусть x₁, x₂,.., x_k,... некоторая числовая последовательность.

Рассмотрим произвольную возрастающую последовательность целых положительных чисел n₁, n₂,.., n_k,... и выберем из последовательности элементы с номерами n₁, n₂,.., n_k,.... Расположим эти элементы в таком же порядке, как и числа . Полученную таким образом числовую последовательность будем называть подпоследовательностью последовательности . В частности, сама последовательность может рассматриваться как подпоследовательность (в этом случае n_k = k).

Замечание. Очевидно, что для любого номера k справедливо неравенство . Это видно из следующего примера:

Если k = 5, то n_k = 15 и .

Свойство 1. Если последовательность сходится и имеет своим пределом число а, то и любая подпоследовательность этой последовательности сходится и имеет пределом число а

.

Свойство 2. Если все подпоследовательности данной последовательности сходятся, то пределы всех этих

подпоследовательностей равны одному и тому же числу а; в частности, к этому же числу сходится и последовательность

.

Свойство 3. Каждая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также будет бесконечно большой

Лемма 1. Из каждой сходящейся последовательности можно выделить монотонную сходящуюся последовательность.

Замечание. Из каждой бесконечно большой последовательности можно выделить монотонную бесконечно большую последовательность.

Дата добавления: 2014-01-07