Площадь треугольника

Теорема 1.3. Для любых точек А(х₁;у₁), В(х₂;у₂) и С(х₃;у₃), не лежащих на одной

прямой, площадь S треугольника АВС выражается формулой

S = ô(х₂ – х₁)(у₃ – у₁) – (х₃ – х₁)(у₂ – у₁)ô. (6)

Доказательство. Площадь ∆ АВС, изображённого на рис.1.7, вычисляем следующим образом:

S_ABC = S_ADEC + S_BCEF – S_ABFD.

Вычисляем площади трапеций:

S_ADEC = ,

S_BCEF = ,

S_ABFD = .

Теперь имеем

S_ABC =((х₃ – х₁)(у₃ + у₁) + (х₂ – х₃)(у₃ + у₂) - (х₂ –

– х₁)(у₁ + у₂)) =(х₃у₃ – х₁у₃ + х₃у₁ – х₁у₁+ х₂у₃ –

– х₃у₃ + х₂у₂ – х₃у₂ – х₂у₁ + х₁у₁ – х₂у₂ + х₁у₂) =

=(х₃у₁ – х₃у₂ + х₁у₂ – х₂у₁ + х₂у₃ – х₁у₃) = (х₃(у₁ – у₂) + х₁у₂ – х₁у₁ + х₁у₁ – х₂у₁ + у₃(х₂ – – х₁)) = (х₁(у₂ – у₁) – х₃(у₂ – у₁) + у₁(х₁ – х₂) – у₃(х₁ – х₂)) = ((х₁ – х₃)(у₂ – у₁) + (х₁ –

– х₂)(у₁ – у₃)) = ((х₂ – х₁)(у₃ – у₁) – (х₃ – х₁)(у₂ – у₁)).

Для другого расположения ∆ АВС формула (6) доказывается аналогично, но может получиться со знаком «-». Поэтому в формуле (6) ставят знак модуля.

Дата добавления: 2014-01-07