Расстояние от точки до прямой

Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Лекция 3.

Расстояние от точки до прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Теорема 3.1. Расстояние d от данной точки М(х₀;у₀) до прямой ℓ, заданной уравнением

Ах + Ву + С = 0 на плоскости определяется формулой

d = . (1)

Доказательство. Пусть в прямоугольной системе координат прямая ℓ имеет уравнение Ах + Ву + С = 0, а точка М ─ координаты (х₀;у₀). Возьмём на прямой ℓ две произвольные точки Е(х₁;у₁) и F(х₂;у₂). Нетрудно заметить, что

d = h = .

По формуле (6) лекции 1 имеем

S_MEF = │(x₂ – x₁)(y₀ – y₁) – (x₀ – x₁)(y₂ – y₁)│.

По формуле расстояния между точками на плоскости

EF = .

Тогда

d = . (2)

Запишем уравнение прямой ℓ по двум точкам E и F:

.

Преобразуем это уравнение в общее уравнение прямой:

(у – у₁)(х₂ – х₁) = (х – х₁)(у₂ – у₁),

(у₂ – у₁)х + (х₁ – х₂)у + (у₁(х₂ – х₁) – х₁(у₂ – у₁)) = 0.

По условию, общее уравнение прямой ℓ имеет вид Ах + Ву + С = 0, следовательно,

А = m(y₂ – y₁),

B = m(x₁ – x₂),

C = m(у₁(х₂ – х₁) – х₁(у₂ – у₁)).

для некоторого целого числа m ¹ 0.

Тогда из (2) имеем

d = ==

= = =

= =

Пример 1. Пусть прямая ℓ задана уравнением 3х – 4у + 10 = 0 и дана точка М(4;3). Найти расстояние от точки М до прямой ℓ.

Решение. По формуле (1) имеем

d = = .

Ответ: 2.

Дата добавления: 2014-01-07