Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Пусть прямые ℓ₁ и ℓ₂ заданы своими общими уравнениями. Рассмотрим эти уравнения как систему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными х и у:

(3)

Решаем эту систему:

а)

(А₁В₂ – А₂В₁)у = С₁А₂ – А₁С_2. (4)

б)

(5)

Возможны следующие случаи:

1) А₁В₂ – А₂В₁ ¹ 0 т.е. А₁В₂ ¹ А₂В₁ Þ . Тогда из формул (4) и (5) находим единственное решение системы (3):

х = , у = . (6)

Единственное решение системы (3) означает, что прямые ℓ₁ и ℓ₂ пересекаются. Формулы (6) дают координаты точки пересечения.

2) А₁В₂ – А₂В₁ = 0 т.е. А₁В₂ = А₂В₁ Þ .

2.1) С₂В₁ – С₁В₂ = 0 и С₁А₂ – А₁С₂ = 0.

Тогда А₁В₂ = А₂В₁, С₂В₁ = С₁В₂ и С₁А₂ = А₁С₂, откуда , , .

Таким образом, . Тогда А₁ = kA₂, B₁ = kB₂, C₁ = kC₂. Теперь, уравнение прямой ℓ₁ имеет вид:

kA₂x + kB₂y + kC₂ = 0

или

A₂x + B₂y + C₂ = 0.

Следовательно, прямые ℓ₁ и ℓ₂, имея одно и то же уравнение, совпадают.

2.2) С₂В₁ – С₁В₂ ¹ 0 или С₁А₂ – А₁С₂ ¹ 0.

Пусть, для определённости С₂В₁ – С₁В₂ ¹ 0, т.е. С₂В₁ ¹ С₁В₂ Þ . Тогда равенство (5) имеет вид 0 × х = С₂В₁ – С₁В₂. Следовательно, это уравнение, а значит и система (3) решений не имеет. Это означает, что прямые ℓ₁ и ℓ₂ на плоскости не пересекаются, т.е. они параллельны. Аналогичный вывод можно сделать в случае, когда С₁А₂ – А₁С₂ ¹ 0.

Итак, если:

1) , то прямые ℓ₁ и ℓ₂ пересекаются в точке с координатами (6);

2) , то прямые ℓ₁ и ℓ₂ параллельны;

3) , то прямые ℓ₁ и ℓ₂ совпадают.

Дата добавления: 2014-01-07