Правило Крамера решения систем линейных уравнений

Примеры.

1). Ответ: (2;-3;-1).

2) Ответ: нет решений.

3) Ответ: бесконечно много решений.

Габриэль Крамер (1704 – 1752) ─ швейцарский математик, который в 1750 г. нашёл метод решения систем линейных уравнений, названный впоследствии правилом Крамера.

Определение. Система линейных уравнений называется крамеровской, если тело уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы системы отличен от нуля.

Теорема 7.1. Крамеровская система имеет единственное решение, которое находится по формулам

где ─ определитель матрицы системы, ─ определитель, полученный из , заменой столбца коэффициентов при на столбец свободных членов.

Доказательство. Пусть дана крамеровская система

(4)

Тогда

│А│= ∆ = ¹ 0.

По теореме 3 лекции 6 матрица системы А имеет обратную матрицу А^-1.

Запишем крамеровскую систему (4) в матричном виде

АХ = В (5)

где

А = , Х = , В = .

Умножим обе части матричного уравнения (5) слева на А^-1:

А^-1(АХ) = А^-1В,

Ввиду ассоциативности умножения матриц имеем

А^-1(АХ) = (А^-1А)Х = Е_ТХ = Х.

Таким образом,

Х = А^-1В ─ решение системы.

1) Покажем, что такое решение единственно. Предположим, что Х₁ и Х₂ ─ два решения матричного уравнения (5). Тогда АХ₁ = В и АХ₂ = В, откуда АХ₁ = АХ₂. Умножая обе чисти равенства на А^-1 слева, имеем

А^-1(АХ₁) = А^-1(АХ₂),

(А^-1А)Х₁ = (А^-1А)Х₂,

Е_nХ₁ = Е_nХ₂,

Х₁ = Х₂.

Следовательно, система (4) имеет единственное решение.

2) Найдём решение системы (4). Из равенства Х = А^-1В имеем:

= ,

откуда

,

,

……………………………………………………..

.

Обозначая определители в правой части равенств соответственно, получим формулы .

Пример. Решить систему уравнений по правилу Крамера

Ответ: (1;1;1).

Дата добавления: 2014-01-07