Деление отрезка в данном отношении

Теорема 8.2. Пусть М₁(х₁;у₁;z₁), М₂(х₂;у₂;z₂). Если точка М(х₀;у₀;z₀) делит отрезок М₁М₂ в отношении α, то

, , (3)

Доказательство. Нетрудно заметить (рис.8.14), что = +. Так как , то = . Вектор =− .

Теперь,

= + (− )×α,

+ ×α = + ×α,

×(1 + α) = + ×α,

= (+ ×α)×.

Перейдём к координатам: = (х₀;у₀;z₀), = (х₁;у₁;z₁), = (х₂;у₂;z₂). Тогда

(х₀;у₀;z₀) = ((х₁;у₁;z₁) + (х₂;у₂;z₂)α) ×,

откуда

, , .

Следствие. Пусть М₁(х₁;у₁;z₁), М₂(х₂;у₂;z₂). Если М₀(х₀;у₀;z₀) ─ середина отрезка М₁М₂, то

, , .

Дата добавления: 2014-01-07