Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между векторами. Обозначение ×.

Итак, по определению ×= cosφ, где φ ─ угол между и .

1. = ×= cos0 = .

2. Свойство коммутативности: ×= ×.

Действительно, ×= cosφ = ×= cosφ.

3. Векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда ×= 0.

4. Косинус угла φ между векторами и вычисляется по формуле

cosφ = .

5. ×(α) = (×)α, (α)×(β) = (×)(αβ).

6. ×(+ ) = ×+ ×

Теорема 1. Если векторы = (х₁;у₁;z₁) и = (х₂;у₂;z₂), то ×= х₁х₂ + у₁у₂ + z₁z₂.

Доказательство. Запишем разложение векторов и по базисным векторам :

= + + , = + +

Тогда, используя свойства скалярного произведения, имеем

×= (+ + )(+ + ) ()() + ()() + ()() +

+ ()() + ()() + ()() + ()() + ()() + ()() (х₁х₂) + ()у₁х₂ + ()z₁x₂ + ()x₁y₂ + (y₁y₂) + ()z₁y₂ + ()x₁z₂ + ()y₁z₂ + (z₁z₂)

Теперь, по свойству 1): = ││ = 1, = 1, = 1.

По свойству 3): = = = = = = 0.

Следовательно,

×= х₁х₂ + у₁у₂ + z₁z₂.

Следствие 1.1. Если = (х₁;у₁;z₁) и = (х₂;у₂;z₂), то косинус угла между векторами и вычисляется по формуле

cosφ = .

Следствие 1.2. Векторы = (х₁;у₁;z₁) и = (х₂;у₂;z₂) перпендикулярны тогда и только тогда, когда х₁х₂ + у₁у₂ + z₁z₂ = 0.

Пример. Найти угол между векторами = (7;2;-8) и = (11;-8;-7).

Решение. По следствию 1.1.

cosφ =

Тогда φ = .

Дата добавления: 2014-01-07