Смешанное произведение векторов. Определение. Пусть даны три вектора , и

Определение. Пусть даны три вектора , и . Умножим вектор на векторно, а затем, векторное произведение × умножим скалярно на . В результате получим число (× )× , которое называют смешанным произведение трёх векторов , и .

Теорема 3. Смешанное произведение (× )× трёх некомпланарных векторов равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах , и , связанному со знаком «+», если тройка , , правая, и со знаком «−», если эта тройка ─ левая.

Доказательство. Рассмотрим параллелепипед, построенный на векторах , и (рис.9.5).

Построим вектор × и пусть ─ единичный вектор, одинаково направленный с вектором × . Так как │× │= S ─ площадь параллелограмма OBDA, построенного на векторах и , то × = ×S.

Возьмём ось ℓ, одинаково направленную с вектором . Тогда по свойствам проекции векторов пр_е= соsφ, где φ ─ угол между и осью ℓ. Тогда │пр_е│= h, где h ─ высота параллелепипеда. Отметим, что если тройка , , правая (рис.9.5), то h = пр_е= = соsφ. Если же тройка , , левая, то h = − пр_е= − соsφ.

Теперь,

(× )× = (S)× = (×)S = cosφ × S = S × соsφ = ± S × h = ± V_{параллелепипеда,}

причём знак «+» берётся, если , , ─ правая тройка, и знак «−», если она левая.

Следствие 3.1. Векторы , и компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение (× )× = 0.

Доказательство.

Отметим, что если тройка , , правая, то тройка , , также правая (рис.9.6(а)), а если тройка , , левая, то тройка , , также левая (рис.9.6(б)).

Очевидно, что параллелепипед, построенный на векторах , , и векторах , , ─ один и тот же. Поэтому

(×)× = ±V_парал., (×)× = ± V_{паралл.}

Так как тройки , , и , , либо обе правые, либо обе левые, то знак перед V выбирается в обоих произведениях одинаково. Поэтому

(×)×= (×)×= ×(×).

Ввиду следствия 3.2 смешанное произведение векторов , , ещё обозначают .

Теорема 4. Если = (х₁;у₁;z₁), = (х₂;у₂;z₂), = (х₃;у₃;z₃), =

Дата добавления: 2014-01-07