Взаимное расположение двух плоскостей

Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Пусть даны три точки пространства М₁(х₁;у₁;z₁), М₂(х₂;у₂;z₂), M₃(x₃;y₃;z₃)? Не лежащие на одной прямой. Пусть М(х;у;z) ─ произвольная точка этой плоскости

(х – х₀;у – у₀;z – z₀), (х₂ – х₁;у₂ – у₁;z₂ – z₁), (х₃ – х₁;у₃ – у₁;z₃ – z₁) компланарны. Поэтому их смешанное произведение равно нулю:

= 0.

Следовательно, искомое уравнение

= 0. (3)

Пусть даны две плоскости

А₁х + В₁у +С₁z + D₁ = 0,

А₂х + В₂у +С₂z + D₂ = 0.

Первая плоскость имеет нормальный вектор (А₁;В₁;С₁), вторая плоскость (А₂;В₂;С₂).

Если плоскости параллельны, то векторы и коллинеарны, т.е. = l для некоторого числа l. Поэтому

─ условие параллельности плоскости.

Условие совпадения плоскостей:

,

так как в этом случае умножая второе уравнение на l = , получим первое уравнение.

Если условие параллельности не выполняется, то плоскости пересекаются. В частности, если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и векторы ,. Поэтому их скалярное произведение равно 0, т.е. = 0, или

А₁А₂ + В₁В₂ + С₁С₂ = 0.

Это необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей.

Дата добавления: 2014-01-07