Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть задана прямая х = х₀ + а₁t, y = y₀ + a₂t, z = z₀ + a₃t

и плоскость

А₁х + В₁у +С₁z + D₁ = 0.

Чтобы найти общие точки прямой и плоскости, необходимо решить систему их уравнений

откуда

А₁(х₀ + а₁t) + B₁(y₀ + a₂t) + C₁(z₀ + a₃t) + D₁ = 0,

(A₁a₁ + B₁a₂ + C₁a₃)t + (A₁x₀ + B₁y₀ + C₁z₀ + D₁) = 0.

Если А₁а₁ + В₁а₂ + С₁а₃ ¹ 0, то система имеет единственное решение

t = t₀ = - .

В этом случае прямая и плоскость пересекаются в единственной точке М₁(х₁;у₁;z₁), где

х₁ = х₀ + а₁t₀, y₁ = y₀ + a₂t₀, z₁ = z₀ + a₃t₀.

Если А₁а₁ + В₁а₂ + С₁а₃ = 0, А₁x₀ + В₁y₀ + С₁z₀ + D₁ ¹ 0, то прямая и плоскость не имеет общих точек, т.е. параллельны.

Если же А₁а₁ + В₁а₂ + С₁а₃ = 0, А₁x₀ + В₁y₀ + С₁z₀ + D₁ = 0, то прямая принадлежит плоскости.

Дата добавления: 2014-01-07