Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Загрузка...

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Основные теоремы о пределах функций

Теоремы о пределах функций

Лекция 13.

Основные теоремы о пределах функций. Замечательные пределы.

 

Теорема 1.Функция у = у(х) не может иметь более одного предела при х→.

Доказательство.Предположим противное, пусть функция у = у(х) при х→имеет два предела А1≠А2. По свойствам бесконечно малых функций у(х)=А1 + a1(х) и у(х)=А2+a2(х), где a1(х), a2(х) ─ б.м.ф. при х→. Тогда А1 + a1(х) = А2 + a2(х) или А1 – А2 = a1(х) – a2(х). Но последнее равенство невозможно, т.к. в левой части стоит постоянная, отличная от нуля, а в правой ─ бесконечно малая функция.

 

Теорема 2.Если каждая из функций у = у(х), z = z(x) имеет предел при х→, то сумма, разность, произведение этих функций также имеют пределы, причём

1) (у(х) ± z(x)) = y(x) ± z(x);

2) (y(x) × z(x)) = y(x) × z(x),

если кроме того, z(x) ≠ 0, то частное имеет предел, причём

3) = .

Доказательство.Пусть y(x) = А, z(x) = В.

Тогда по свойствам б.м.ф. у(х)=А + a(х), z(x) = B + b(x), где a(х), b(х) ─ б.м.ф. при х→. Получаем:

1) у(х) ± z(x) = (А ± В) + (a(х) ± b(х)). По свойствам б.м.ф. a(х) ± b(х) ─ б.м.ф., поэтому (у(х) ± z(x)) = А ± В, т.е. (у(х) ± z(x)) = y(x) ± z(x).

2) y(x) × z(x) = (А + B + b(x) = А×В + a(х) ×B + А× b(x) + a(х)×b(x). По свойствам б.м.ф. функция a(х) ×B + А× b(x) + a(х)×b(x) ─ б.м.ф. при х→.

Поэтому (y(x) × z(x)) = АВ = y(x) × z(x).

3) Пусть В≠0. Рассмотрим разность

.

По свойствам б.м.ф. функция ─ б.м.ф. при х→.

Рассмотрим функцию =.

Очевидно, что =.

Это означает, что для e, равного, например, найдутся х, расположенные вокруг такие, что ││< , т.е.

<<, <<.

 

Но это означает, что функция ограничена. Тогда по свойствам б.м.ф. произведение

─ б.м.ф. при х→.

Обозначим её a1(х), т.е. = a1(х). Тогда + a1(х). По свойствам б.м.ф. = = .

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак прела, т.е. если

с = const, то (с×у(х)) = су(х).

Следствие 2.Если у(х) = А, то для любого натурального числа m

(у(х))m = (у(х))m = Am.

 

Теорема 3.Пусть три функции u = u(x), v = v(x), y = y(x) определены в некотором промежутке, содержащем точку . Если для любого х из этого промежутка выполняется неравенства

u(x) £ y(x) £ v(x)

и функции u = u(x), v = v(x) имеют одинаковые пределы при х→, то функция у = у(х) имеет тот же предел при х→.

Доказательство.Пусть u(x) = v(x) = A.



Т.к. u(x) £ y(x) £ v(x), то u(x)−А £ y(x)−А £ v(x)−А.

По определению предела функции "e>0 существуют d1>0 и d2>0 такие, что из неравенств 0<│х − │<d1 следует │u(x)−A│<e, а из неравенств 0<│х − │<d2 следует │v(x)−A│<e. Обозначим d = min{d1,d2}. Тогда для х, удовлетворяющих неравенствам 0<│х − │<d следует −e < u(x)−A < e и −e < v(x)−A < e. Поэтому из неравенств u(x)−А £ y(x)−А £ v(x)−А следует −e < у(x)−A < e, т.е. │у(x)−A│<e. Это означает, что у(х) = А.

 

Теорема 4.Пусть функция у = f(x) определена в некотором промежутке, содержащем точку . Если при х→функция у = f(x) имеет положительный (отрицательный) предел, то найдётся такой промежуток вокруг точки , что для всех х из этого промежутка функция положительна (отрицательна).

Доказательство.Пусть f(x) = А. Это означает, что "e>0 можно указать такое число d>0, что при всех х, удовлетворяющих условию 0<│х−│<d, выполняется

Неравенство │f(x)−A│<e, т.е. −e < f(x)−A < e.

Если А>0, то взяв e = А из неравенства A− e <f(x) получим f(x)>A−e= =A− A = A>0, т.е. f(x)>0 при −d<x−<d, т.е. при −d<x<d+.

Если А<0, то взяв e = −А, из неравенства f(x)< A+e получим f(x)< A+e = =A− A = A<0, т.е. f(x)<0 при −d<x<d+.

Эта теорема называется теоремой о сохранении знака функции, имеющей предел.

Теорема 5. Если функции u(x), v(x) определены в некотором промежутке, содержащем точку , и для всех х из этого промежутка, кроме х=, выполняется неравенство u(x)<v(x), причём функции u(x) и v(x) имеют пределы при х→. Тогда u(x) £ v(x).

Доказательство.Пусть u(x) = А, v(x) = В. Положим, что А>B. По теореме2 (u(x)−v(x)) = А−В>0. По теореме 4 найдётся промежуток вокруг точки такой, что для всех х из этого промежутка u(x)−v(x)>0, т.е. u(x)>v(x), что противоречит условию.

Следовательно, предположение неверно и А£В, т.е. u(x)£ v(x).

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
| Основные теоремы о пределах функций

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 686; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.198.71.184
Генерация страницы за: 0.007 сек.