КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Понятие об основных методах интегрирования
К числу важным методам интегрирования относятся методы: непосредственного интегрирования; замены переменной; интегрирования по частям.
Метод непосредственного интегрирования основан на свойстве 4 неопределённого интеграла и использует таблицу основных неопределённых интегралов. Пример 1. ò ()dx = ò dx + ò dx - ò dx = ℓnôô+ 2+ + C. Пример2. ò dx = ò dx = ò dx = ò dx + ò dx = tgx – ctgx + C. Метод замены переменной (или метод подстановки) основан на следующей теореме.
Теорема. Если F(x) ─ первообразная функции f(x), а х = j(t) ─ дифференцируемая функция f(j(t))j'(t) также имеет первообразную, причём ò f(j(t))j'(t)dt = F(j(t)) + C. Доказательство. По правилу дифференцирования сложной функции (F(j(t)))' = F'(j(t)) × j'(t) = f(j(t))j'(t), т.е. функция f(j(t))j'(t) имеет в качестве одной из своих первообразных функцию F(j(t)). Следовательно, ò f(j(t))j'(t)dt = F(j(t)) + C. Поскольку F(j(t)) + C = F(х) + C = ò f(х)dх, то ò f(х)dх = ò f(j(t))j'(t)dt. (*)
По формуле (*) осуществляется замена переменной в неопределённом интеграле.
Пример 1. ò sin(2 - 3x)dx = [2 – 3х = t, d(2 – 3x) = dt, -3dx = dt, dx = -dt] = ò sint(-dt) = = - ò sintdt = cost + C = cos(2 – 3x) + C. Пример 2. ò = [= t – x ─ подстановка Эйлера, t = x + , dt = (1 + ) dx, dt = dx, dt = dx, = ] = ò = = ℓnôtô+ c = ℓnôx + ô+ c.
Метод интегрирования по частям основан на следующей формуле ò udv = u × v ─ ò v du, где u = u(x), v = v(x) ─ некоторые дифференцируемые функции.
Пример 1. ò хsin2xdx = [u = arctgx, dx = dv, du = (arctgx)'dx, du = dx, v = x] = xarctgx ─ ò dx. Вычисляем последний интеграл [t = 1 + x2, dt = 2xdx, xdx = dt] = = ò dt = ℓnôtô+ C = ℓnô1+x2ô+ C. Теперь ò arctgxdx = x arctgx ─ ℓnô1+x2ô+ C. Пример 2. ò ex cosxdx = [u = ex, dv = cosxdx, du = exdx, v = ò cosxdx = sinx] = exsinx ─ ò exsinxdx = [ex = u, dv = sinxdx, du = exdx, v = -cosx] = exsinx + excosx ─ ò cosx ×exdx.
Итак, ò ex ×cosxdx = ex(sinx + cosx) ─ ò cosx ×exdx. 2ò cosx ×exdx = ex(sinx + cosx), ò cosx ×exdx = ex(sinx + cosx) + C.
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 363; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |