Интегралы с бесконечными пределами

Пусть функция непрерывна при любом . Рассмотрим определённый интеграл с переменным верхним пределом

.

Предположим, что при функция имеет конечный предел; этот предел называется сходящимся несобственным интегралом от функции по промежутку и обозначается

.

Если же этот предел не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Геометрически несобственный интеграл от неотрицательной функции выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева - прямой , снизу - осью (В случае сходящегося интеграла эта площадь является конечной, в случае расходящегося - бесконечной) (Рис.20.1.).

Если - первообразная для , то

= =

= , где = .

и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределам

и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами +, где с - любая точка из интервала .

Пример 1. = = = .

Пример 2. = sin- sin 0 = sin.

Этот предел не существует, следовательно, интеграл расходится.

Пример 3. + . Этот интеграл расходится, так как = == = = .

С помощью следующих двух теорем можно исследовать вопрос о сходимости некоторых несобственных интегралов.

Теорема 1. Если при выполнены неравенства и сходится, то сходится и , причём

£ ;

если же расходится, то расходится и интеграл .

Теорема 2. Если в промежутке функция меняет знак и сходится, то сходится также .

Дата добавления: 2014-01-07