Основные понятия. Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных

Лекция 21.

Основные понятия. Предел и непрерывность. Частные производные первого порядка. Частные производные высших порядков. Дифференцируемость полный дифференциал. Экстремум функции двух переменных. Метод наименьших квадратов.

Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции нескольких переменных.

Определение. Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений () из некоторого множества X соответствует одно вполне определённое значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных z = ().

Пример. Формула V = R²H задаёт объём цилиндра V как функцию двух переменных V(R;H), где R − радиус основания, H − высота цилиндра.

Переменные называются независимыми переменными или аргументами, z зависимой переменной, а символ означает закон соответствия. Множество X называется область определения функции.

Пример. Область определения функции z = задаётся условием ≥ 0

или ≤ 1. Эта область представляет собой единичный круг с центром в начале координат и радиусом 1 (рис.21.1).

Рассмотрим некоторые примеры функции нескольких переменных:

1. Функция z = , где , − постоянные числа, называется линейной.

2. Функция z = , где − постоянные числа, называется квадратической.

3. Одно из базовых понятий экономической теории − функция полезности. Эта функция z = (), выражающая полезность от n приобретённых товаров . Чаще всего встречаются следующие её виды:

а) z = , где , , − логарифмическая функция;

б) z = , где , , − функция

Дата добавления: 2014-01-07