Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Интегрируемые типы ДУ второго порядка




Дифференциальные уравнения второго порядка

 

Интегрируемые типы ДУ второго порядка. Случаи понижения порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

 

Общий вид ДУ второго порядка

Общее решение этого уравнения содержит две независимые произвольные постоянные и . Если заданы начальные условия , при , то из системы

можно, вообще говоря определить постоянные и и найти тем самым частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным уравнениям.

Рассмотрим некоторые случаи, когда уравнение второго порядка решается применением операций неопределённого интегрирования.

1.1. Пусть

Интегрируя, получим

.

Интегрируя ещё раз, получим

,

где и - произвольные постоянные.

 

Пример 1. Найти частное решение ДУ , удовлетворяющее начальным условиям , .

Решение. Интегрируем обе части дважды:

,

,

,

.

Получим общее решение данного ДУ. Находим частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

, , .

 

1.2. Пусть . Положим . Тогда .

Следовательно, исходное уравнение принимает вид .

Разделяя переменные, получим .

Интегрируя последнее уравнение, находим

или

,

 

Разделим переменные

.

Тогда

.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Полагаем . Тогда .

Подставляя в уравнение, имеем

.

Разделяя переменные и интегрируя, получим

,

откуда ,

,

.

Умножим обе части на и проинтегрируем их

,

,

откуда

.

1.3. Пусть . Полагаем . Тогда и данное уравнение принимает вид .

Разделяя переменные и интегрируя, последовательно будем иметь

,

.

Определив из этого уравнения величину , путём вторичного интегрирования можно найти и .

Пример 3. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

Решение. Полагаем и . Тогда , откуда , .

Используя начальное условие , имеем , откуда .

Следовательно, . Тогда , причём перед корнем взят знак «+», т.к. при мы должны иметь .

Разделяя переменные и интегрируя, находим

.

Т.к. , то , откуда .

Таким образом, искомое решение есть

.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1025; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.