КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Наименьших квадратов
Обработка экспериментальных данных методом
Конечная цель проведения эксперимента - установление функциональной связи (зависимости) между варьируемыми параметрами и выходным параметром и описание этой зависимости математической формулой. Каждый эксперимент состоит из ряда опытов. В каждом опыте принимаются разные значения исследуемого параметра. Для обеспечения требуемой точности эксперимента в каждом опыте проводится определенное количество повторений или дублей. Например, для обеспечения уровня надежности (доверительной вероятности) 0,9 количество дублей в каждом опыте должно быть не менее 5. Для обеспечения уровня надежности (доверительной вероятности) 0,95 количество повторений должно быть не менее 7. В основном для обработки экспериментальных данных с применением ЭВМ применяют метод наименьших квадратов (метод Гаусса). Для понимания сути данного метода рассмотрим сначала рис.3.4. На нем в обычных и логарифмических координатах изображены опытные значения (точки) и, соответственно, аппроксимирующая кривая и аппроксимирующая прямая.
Рис.3.4. Иллюстрация реализации метода наименьших квадратов
На рис. 3.4 y 1, y 2, …, y n – экспериментальные значения, f (x 1), f (x 2), …, f (x n) – расчетные значения аппроксимирующей функции. Аналогичные значения, но только в логарифмическом измерении, приведены на правой части рисунка. В основе метода наименьших квадратов лежит следующее положение: наилучшее приближение аппроксимирующей функции y = f (x) к экспериментальным данным будет в том случае, когда сумма квадратов отклонений расчетных значений f (x 1), f (x 2), …, f (x n) от экспериментальных данных y 1, y 2 … y n, является минимальной [16], т.е.
или
.
Разность в выражении для S есть отклонение по ординате i – ой экспериментальной точки от заменяющей (аппроксимирующей) кривой. Квадраты отклонений берутся, чтобы компенсировать знаки «–» отклонений. Для определенности задачи искомую функцию f (x) будем выбирать из класса алгебраических многочленов степени m:
.
Назовем данный многочлен – аппроксимирующим многочленом. Аппроксимирующий многочлен не проходит через все узловые точки экспериментальных данных. Поэтому его степень m не зависит от числа узловых точек n. При этом всегда m < n. Степень m может меняться в пределах 1≤ m ≤ N-2. Если m =1, то мы аппроксимируем табличную функцию прямой линией. Такая задача называется линейной регрессией. Если m =2, то мы аппроксимируем табличную функцию квадратичной параболой. Такая задача называется квадратичной аппроксимацией. Если m =3, то мы аппроксимируем табличную функцию кубической параболой. Такая задача называется кубической аппроксимацией. Сумма S будет минимальной, если ее частные производные по параметрам ai равны нулю. Аналогично сумма S’ будет минимальной, если ее частные производные по параметрам C и k равны нулю. Произведя дифференцирование и соответствующие преобразования, получают систему нормальных уравнений, которая затем решается для нахождения искомой постоянной C и показателя степени k. Для обработки экспериментальных данных с целью получения аппроксимирующих функций используют компьютерные программы, реализующие метод наименьших квадратов. В частности программы EXCEL и MATHCAD, применение которых будет рассмотрено на практических занятиях. Пример. Получены экспериментальные данные зависимости коэффициента напряженного состояния nσ от фактора формы очага деформации l/hc при прокатке высоких полос [28] (таб. 3.1). Таблица 3.1 Экспериментальные данные зависимости коэффициента напряженного состояния nσ от фактора формы очага деформации l/hc
при прокатке высоких полос
На рис. 3.5 представлены экспериментальные точки на поле будущего графика в EXCEL, а на рис. 3.6 аппроксимация логарифмической зависимостью у= 0,8582–0,6498ln(x), коэффициент корреляции 0,9. В работе [28] эта зависимость аппроксимирована формулой
.
Рис. 3.5. Экспериментальные точки на графике, построенном в EXCEL
Путем изменения параметра х=l/hc на х=hc / l можно получить из нелинейной зависимости – линейную (таблица 3.2). Таблица 3.2 Экспериментальные данные зависимости коэффициента напряженного состояния nσ от фактора формы очага деформации hc/l при прокатке высоких полос
Рис. 3.6. Аппроксимация в EXCEL логарифмической зависимостью у= 0,8582–0,6498lg(x) На рис. 3.7 представлена линейная аппроксимация данных табл. 3.2.
Рис. 3.7. Линейная аппроксимация зависимости коэффициента напряженного состояния nσ от фактора формы очага деформации hc/l при прокатке высоких полос
Данный пример наглядно показывает, как правильный подбор параметров позволяет сделать зависимость линейной. В работе [28] эта зависимость аппроксимирована по методу избранных точек и методу средних (т.е. через две избранные точки) формулой .
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 669; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |