Расчет изгибаемых элементов по прочности нормального сечения

Как следует из таблицы 4.1 (строка 4), алгоритм расчета прочности нормального сечения железобетонного элемента при изгибе выводится из рассмотрения III стадии напряженного состояния элемента. При этом принимаются во внимание следующие предпосылки:

- сопротивление бетона растяжению равно нулю;

- сопротивление бетона сжатию равно R_b и равномерно распределено по сжатой зоне бетона;

- деформации (напряжения) в арматуре определяются в зависимости от высоты сжатой зоны бетона;

- растягивающие напряжения в арматуре равны R_s.

Прочность изгибаемого элемента будет обеспечена, если предельный изгибающий момент, который может быть воспринят сечением М_ult, не будет меньше изгибающего момента в сечении М от внешних сил, то есть: М £ М_ult.

Распределение усилий в нормальном сечении изгибаемого элемента показано на рисунке 4.6.

Рис. 4.6. К выводу алгоритма расчета изгибаемого элемента по прочности нормального сечения

по предельным усилиям:

z – плечо внутренней пары сил, х – высота сжатой зоны бетона, h₀ – рабочая высота сечения

Равнодействующая сжимающих усилий в бетоне:

Равнодействующая растягивающих усилий в арматуре:

Относительная высота сжатой зоны бетона:

Преобразование формулы:

Коэффициент для расчета изгибаемых элементов:

Преобразование формулы:

z/h₀

Преобразование формулы:

Требуемая для обеспечения прочности площадь растянутой арматуры:

Для упрощения прочностных расчетов изгибаемых элементов, пользуются таблицей 4.2, включающей в себя значения x, h, А₀.

Пособие по проектированию железобетонных конструкций [2] рекомендует также выполнение расчета без использования таблиц по алгоритму: , .

Определение диаметра арматурных стержней выполняется по таблице 4.4 (сортамент арматуры) с учетом полученной в результате расчета площади продольной рабочей арматуры и количества стержней, которые необходимо установить в рассчитываемый элемент.

Таблица 4.2.

Коэффициенты для расчета изгибаемых элементов
x	h	A0	x	h	A0	x	h	A0
0,01	0,995	0,01	0,18	0,910	0,164	0,35	0,825	0,289
0,02	0,990	0,02	0,19	0,905	0,172	0,36	0,820	0,295
0,03	0,985	0,03	0,20	0,900	0,180	0,37	0,815	0,302
0,04	0,980	0,039	0,21	0,895	0,188	0,38	0,810	0,308
0,05	0,975	0,049	0,22	0,890	0,196	0,39	0,805	0,314
0,06	0,970	0,058	0,23	0,885	0,203	0,40	0,800	0,320
0,07	0,965	0,068	0,24	0,880	0,211	0,41	0,795	0,326
0,08	0,960	0,077	0,25	0,875	0,219	0,42	0,790	0,332
0,09	0,955	0,086	0,26	0,870	0,226	0,43	0,785	0,338
0,10	0,950	0,095	0,27	0,865	0,234	0,44	0,780	0,343
0,11	0,945	0,104	0,28	0,860	0,241	0,45	0,775	0,349
0,12	0,940	0,113	0,29	0,855	0,248	0,46	0,770	0,354
0,13	0,935	0,122	0,30	0,850	0,255	0,47	0,765	0,359
0,14	0,930	0,130	0,31	0,845	0,262	0,48	0,760	0,365
0,15	0,925	0,139	0,32	0,840	0,269	0,49	0,755	0,370
0,16	0,920	0,147	0,33	0,835	0,276	0,50	0,750	0,375
0,17	0,915	0,156	0,34	0,830	0,282	0,51	0,745	0,380

Существует граничное значение высоты сжатой зоны бетона x_R, которое определяется по формуле:

Вычисленные по формуле значения x_R, а также граничные значения коэффициента А₀ в зависимости от класса арматуры приведены в таблице 4.3.

Таблица 4.3

Класс арматуры	А240	А300	А400	А500	В500
Значение xR	0,612	0,577	0,531	0,493	0,502
Значение AR	0,425	0,411	0,390	0,372	0,376

Пример расчета изгибаемых элементов по нормальному сечению.

Исходные данные:

1). Усилие М = 143,75 кНм (из статического расчета, см. рис. 4.7).

Рис. 4.7. Статический расчет балки:

(g+V) = 46 кН/м², l₀=5 м,

2). Размеры сечения: h, b (см. рис. 4.6). При назначении размеров сечения балки с расчетной схемой в виде однопролетной статически определимой балки ее высота h назначается равной . Ширина балки b назначается равной . В примере b = 0,25 м. 0,1×5 м=0,5м

Рабочая высота сечения h₀ = h – a (а – расстояние от середины сечения продольной рабочей арматуры до нижней грани сечения). При назначении величины а принимается во внимание значение толщины защитного слоя (см. таб. 2.8), а также диаметр арматуры, устанавливаемой в балках (d_s £ 32 мм). Для конструкций, эксплуатируемых в закрытых помещениях при нормальной или пониженной влажности значение а принимается 0,03 – 0,05 м. В примере принимается а = 0,05 м, h₀ = h – a = 0,5 – 0,05 = 0,45 м.

3). Классы бетона и арматуры.

В качестве ненапрягаемой продольной рабочей арматуры рекомендуется использовать арматуру класса А400, А500. В примере принимается класс арматуры А400. Расчетное сопротивление арматуры R_s = 355 Мпа = 35,5 x 10⁴ кН/м² (таб.2.5).

Для несущих железобетонных конструкций минимальный класс бетона определяется видом конструкций. Для конструкций с ненапрягаемой арматурой используются бетон классов В15 – В25. В примере принимается класс бетона В20. Расчетное сопротивление бетона сжатию R_b = 11,5 Мпа = 11500 кН/м² (таб. 2.2).

Таблица 4.4

Сортамент арматуры
Диаметр,	Площадь поперечного сечения [см^2] при числе стержней	Масса,
мм											кг
	0,07	0,14	0,21	0,28	0,35	0,42	0,49	0,57	0,64	0,71	0,055
	0,13	0,25	0,36	0,50	0,63	0,76	0,88	1,01	1,13	1,26	0,098
	0,20	0,39	0,59	0,79	0,98	1,18	1,37	1,57	1,77	1,96	0,154
	0,28	0,57	0,86	1,13	1,42	1,70	1,98	2,26	2,55	2,83	0,222
	0,50	1,01	1,51	2,01	2,51	3,02	3,52	4,02	4,53	5,03	0,395
	0,79	1,57	3,36	3,14	3,93	4,71	5,50	6,28	7,07	7,85	0,617
	1,131	2,26	3,39	4,52	5,65	6,79	7,92	9,05	10,18	11,31	0,888
	1,539	3,08	4,62	6,16	7,69	9,23	10,77	12,31	13,85	15,39	1,208
	2,011	4,02	6,03	8,04	10,05	12,06	14,07	16,08	18,10	20,11	1,578
	2,545	5,09	7,63	10,18	12,72	15,27	17,81	20,36	22,90	25,45	1,998
	3,142	6,28	9,41	12,56	15,71	18,85	21,99	25,14	28,28	31,42	2,466
	3,801	7,60	11,04	15,02	19,00	22,81	26,61	30,41	34,21	38,01	2,984
	4,909	9,82	14,73	19,63	24,54	29,45	34,36	39,27	44,13	49,09	3,853
	6,158	12,32	18,47	24,63	30,79	36,95	43,10	49,26	55,42	61,58	4,834
	8,042	16,08	24,13	32,17	40,21	48,25	56,30	64,34	72,38	80,42	6,313
	10,18	20,36	30,54	40,72	50,90	61,08	71,26	81,44	91,62	101,80	7,990
	12,56	25,12	37,68	50,24	62,80	75,36	87,92	100,48	113,04	125,60	9,805

Алгоритм расчета.

1). Определение коэффициента для расчета изгибаемых элементов:

2). По таблице 4.2 по коэффициенту А₀ = 0,247 определяется коэффициент h = 0,855.

3). Определение площади нижней продольной арматуры балки:

4). По сортаменту (таблица 4.2) по площади А_s = 10,52 см² подбирается диаметр двух стержней – . Уточняется площадь продольной арматуры А_s = 12,32 см². Определяется коэффициент армирования

Оптимальный процент армирования для балок составляет 1,0% – 1,5%.

Расчет изгибаемых элементов по прочности наклонного сечения.

Распределение усилий в наклонном сечении изгибаемого элемента показано на рисунке 4.7.

Рис. 4.7. К расчету изгибаемого элемента по прочности наклонного сечения:

1 – поперечная арматура (хомуты), 2 – нижняя продольная арматура

Расчет изгибаемого элемента по наклонному сечению производится из условия: Q £ Q_b + Q_sw (значение поперечной силы Q в наклонном сечении от действия внешних сил должно быть не меньше суммарного значения поперечной силы, воспринимаемой бетоном в наклонном сечении Q_b и поперечной силы, воспринимаемой хомутами в наклонном сечении Q_sw).

Отличительными особенностями расчета изгибаемого элемента по наклонному сечению является проверочный характер расчета и то обстоятельство, что расчет по наклонному сечению выполняется после проведения расчета по нормальному сечению. Проверочный характер расчета требует предварительной установки поперечной арматуры рассчитываемого элемента в соответствии с конструктивными требованиями и описание параметров установленной поперечной арматуры в исходных данных расчета.

Конструктивные требования при установке поперечной арматуры

Расстояние между поперечными стержнями S_w назначается по следующему правилу:

- в железобетонных элементах, в которых поперечная сила по расчету не может быть воспринята только бетоном, устанавливается поперечная арматура с шагом S_w1 не более 0,5 h₀ (не более 300 мм);

- в балках и ребрах высотой 150 мм и более, а также в часторебристых плитах высотой 300 мм и более, на участках элемента, где поперечная сила воспринимается только бетоном, поперечная арматура устанавливается с шагом S_w2 не более 0,75 h₀ (не более 500);

- в сплошных плитах, а также часторебристых плитах высотой менее 300 мм и в балках (ребрах) высотой менее 150 мм на участках элемента, где поперечная сила воспринимается только бетоном, поперечную арматуру можно не устанавливать.

Диаметр стержней поперечной арматуры зависит от диаметра стержней продольной рабочей арматуры, установленных по результатам расчета нормального сечения. Рекомендации по назначению наименьшего допустимого диаметра стержней поперечной арматуры из условия их сварки со стержнями продольной арматуры приведены в таблице 4.5. Минимальный диаметр вязаной арматуры принимается 6 мм.

Таблица 4.5.

Соотношение между диаметрами стрежней при сварке
Диаметр стержней одного направления, мм	3…12	14,16	18,20		25..32	36,40
Наименьший допустимый диаметр стержней другого направления, мм

Исходные данные для проведения расчета.

1). Усилие Q (из статического расчета).

2). Размеры сечения: h, b (назначены при расчете элемента по нормальному сечению). Рабочая высота сечения также уже определена h_o = h – a.

3). Классы бетона и арматуры. Принимается класс поперечной арматуры В500 (А400, А500). По таблице 2.5 устанавливается R_sw – расчетное сопротивление поперечной арматуры растяжению. Для описания поперечной арматуры элемента устанавливаются: S_w – шаг поперечных стержней, п – число стержней в поперечном сечении элемента, d_s – диаметр поперечных стержней. По таблице 4.4 по n и d_s определяется площадь поперечной арматуры А_sw.

Класс бетона назначается при расчете продольной арматуры. Для расчета поперечной арматуры по таблице 2.2 устанавливается R_bt – расчетное сопротивление бетона растяжению.

Алгоритм расчета.

При проведении расчета поперечная арматура, назначенная по конструктивным требованиям, проверяется расчетом на предмет достаточности ее для обеспечения прочности наклонного сечения (проверочный расчет).

1). Определяется распределенное усилие в поперечной арматуре:

2). Из многообразия возможных наклонных трещин (сечений) в приопорной зоне конструкции при проведении расчета рассматриваются две (см. рис. 4.1) с длиной проекции с₀ и с. Длина проекции:

На длины проекций наклонных трещин накладываются ограничения:

c назначается не более вычисленного значения c₀ и не более 3h₀;

c₀ назначается не более вычисленного значения c₀ и не более 2h₀.

3). Прочность наклонного сечения будет обеспечена, если выполняется условие: Q £ Q_b + Q_sw, где

Q_b – поперечное усилие, которое воспринимает бетон:

Q_sw – поперечное усилие, которое воспринимает арматура:

Если прочность по наклонному сечению не обеспечена, то необходимо увеличить площадь поперечного сечения арматуры А_sw или уменьшить шаг поперечной арматуры S_w. Можно также изменять класс бетона, размеры поперечного сечения, но в этом случае придется снова выполнять расчет продольной арматуры.

Пример расчета изгибаемых элементов по наклонному сечению.

Исходные данные для проведения расчета.

1). Усилие Q = 115 кН (из статического расчета, см. рис. 4.7).

2). Размеры сечения: h = 0,5 м, b = 0,25 м (назначены при расчете элемента по нормальному сечению). Рабочая высота сечения также уже определена h_o = h – a = 0,5 – 0,05 = 0,45 м.

3). Классы бетона и арматуры. Принимается поперечная арматура -2Æ8А400. По таблице 4.4 по числу стержней (n = 2) и диаметру (d_s = 8) определяется площадь поперечной арматуры:

По таблице 2.5 устанавливается

Шаг поперечных стержней – S_w = 0,2 м.

Класс бетона В20 назначается при расчете продольной арматуры. Для расчета поперечной арматуры по таблице 2.2 устанавливается R_bt = 0,9 Мпа = 900 кН/м².

Алгоритм расчета.

1). Определяется распределенное усилие в поперечной арматуре:

2). Длина проекции наклонной трещины:

3). Прочность наклонного сечения будет обеспечена, если:

поперечное усилие, которое воспринимает бетон:

поперечное усилие, которое воспринимает арматура:

А их сумма Q_b + Q_sw = 99,0 + 74,47 = 173,47 кН > 115 кН больнее поперечного усилия Q, возникающего от внешней нагрузки.

Кроме расчетов по первой группе предельных состояний, к которым относятся прочностные расчеты изгибаемых элементов, для изгибаемых элементов должны выполняться расчеты по второй группе предельных состояний. К расчетам второй группы предельного состояния относятся расчеты по образованию и раскрытию трещин, а также по прогибу.

Расчет изгибаемых элементов по образованию трещин.

Расчет по образованию трещин в изгибаемом элементе сводится к тому, что сравнивается момент трещинообразования M_crc (момент, воспринимаемый нормальным сечением при образовании трещин) с моментом от внешних нагрузок М. Если M < M_crc, то трещины в изгибаемом элементе не образуются. При этом изгибающий момент М определяется от нормативных нагрузок. Например, для статического расчета, представленного на рисунке 4.7 момент от нормативных нагрузок вычисляется по формуле:

При определении момента трещинообразование М_crc принимаются нормативные характеристики материалов.

Исходные данные для проведения расчета.

1). Нормативное усилие Мⁿ (из статического расчета).

2). Размеры сечения: b, h (назначаются при проведении прочностных расчетов). Для вычисления момента трещинообразования M_crc необходимо предварительно определить момент сопротивления приведенного сечения W_red относительно крайнего растянутого волокна бетона. Приведенным называется поперечное бетонное сечение изгибаемого элемента, в котором арматура (продольная рабочая арматура) заменена эквивалентным количеством бетона. Для прямоугольного сечения допускается определять момент сопротивления бетонного сечения по формуле:

С учетом неупругих деформаций растянутого бетона (см. рис. 4.5 и таб. 4.1.) к значению момента сопротивления бетонного прямоугольного сечения вводится коэффициент g = 1,3.

3). Материалы назначены при проведении прочностных расчетов. Для расчета момента трещинообразования расчета по таблице 2.2 устанавливается нормативное сопротивление бетона растяжению R_{bt, ser}.

Алгоритм расчета.

Момент трещинообразования: .

Трещины образуются, если Mⁿ > M_crc. В этом случае требуется расчет по раскрытию трещин.

Пример расчета изгибаемых элементов по образованию трещин.

Исходные данные (см. рис. 4.1 и примеры прочностных расчетов):

2). Класс бетона В20. R_bt,ser = 1,35 МПа = 1350 кН/м².

Алгоритм расчета.

Момент трещинообразования:

Mⁿ > M_crc. 125 кНм > 18,3 кНм. Трещины образуются.

Расчет изгибаемых элементов по раскрытию трещин.

Расчет изгибаемых элементов производится:

- по непродолжительному раскрытию трещин (определяется от совместного действия постоянных и временных нагрузок – gⁿ + Vⁿ);

- по продолжительному раскрытию трещин (определяется от совместного действия постоянных и временных пониженных нагрузок – gⁿ + Vⁿ_l).

Расчет по раскрытию нормальных трещин производится из условия:

a_crc ≤ a_{crc, ult}, где

a_crc – ширина раскрытия трещин от внешних нагрузок;

a_{crc, ult} – предельно допустимая ширина раскрытия трещин.

Значение a_{crc, ult} принимается равным:

- из условия обеспечения сохранности арматуры (конструкции без предварительного напряжения арматуры):

0,3 мм – при продолжительном раскрытии трещин;

0,4 мм – при непродолжительном раскрытии трещин;

- из условия ограничения проницаемости конструкций:

0,2 мм – при продолжительном раскрытии трещин;

0,3 мм – при непродолжительном раскрытии трещин;

Ширина раскрытия трещин a_crc принимается:

- при продолжительном раскрытии трещин:

a_crc = a_{crc, 1}

a_crc1 – ширина раскрытия трещин от продолжительного действия постоянных и временных длительных нагрузок;

- при непродолжительном раскрытии трещин:

a_crc = a_{crc, 1} + a_{crc, 2} – a_{crc, 3}

a_crc,2 – ширина раскрытия трещин от непродолжительного действия постоянных и временных (полное значение) нагрузок;

a_crc,3 – ширина раскрытия трещин от непродолжительного действия постоянных и временных длительных нагрузок.

Ширина раскрытия нормальных трещин определяется по формуле:

j₁ – коэффициент, учитывающий продолжительность действия нагрузки:

j₁ = 1 – при непродолжительном действии нагрузки;

j₁ = 1,4 – при продолжительном действии нагрузки.

j₂ – коэффициент, учитывающий профиль продольной арматуры:

j₂ = 0,5 – для арматуры периодического профиля;

j₂ = 0,8 – для гладкой арматуры;

j₃ – коэффициент, учитывающий характер нагружения:

j₃ = 1 – для элементов изгибаемых и внецентренно сжатых;

j₃ = 1,2 – для растянутых элементов.

y_s – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения относительных деформаций растянутой арматуры между трещинами (допускается принимать y_s = 1).

s_s – напряжение в продольной растянутой арматуре по формуле:

(для элементов прямоугольного сечения z_s = 0,8 h₀).

(в пределах 10…40 см, 10d_s …40d_s).

A _bt – площадь сечения растянутого бетона

(высота растянутой зоны бетона для прямоугольного сечения у = 0,9* (h/2), ширина b).

Пример расчета изгибаемых элементов по раскрытию трещин.

Исходные данные (см. рис. 4.1 и примеры прочностных расчетов):

2). Размеры сечения: h = 0,5 м, b = 0,25 м. Рабочая высота сечения h_o = h – a = 0,5 – 0,05 = 0,45 м. Плечо внутренней пары сил z_s = 0,8 h₀ = 0,38 м.

3). Классы и характеристики материалов:

класс арматуры А400,

диаметр d_s = 28 мм,

E_s = 200000 МПа.

Дата добавления: 2014-01-07