Теорема умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей.

Нормальный закон распределения

Из известных видов распределения непрерывных случайных величин наиболее часто используют нормальное распределение, которое задается законом Гаусса. К нормальному закону распределения при весьма часто встречающихся условиях приближаются другие законы. Так, если мы имеем сумму большого числа независимых величин, подчиненных каким угодно законам распределения, то при некоторых общих условиях она будет приближенно подчиняться нормальному закону.

Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону (закону Гаусса), если ее плотность вероятности имеет вид

, (18)

где μ - математическое ожидание; σ² - дисперсия; σ - среднее квадратическое отклонение этой величины.

Теорема 1. Вероятность Р(А+В)суммы событий А и В равна

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Доказательство. Пусть число n – число возможных исходов опыта, m_А – число исходов, благоприятных А, т_В – число исходов благоприятных В, т_АВ – число исходов опыта, при которых происходят оба события. Тогда число исходов, при которых имеет место событие А+В, равно m_А+ т_В - т_АВ (т.к. в сумме m_А+ т_В число т_АВ учтено дважды: как исход, благоприятный А, и исход, благоприятный В). Следовательно, вероятность суммы можно определить по формуле (1):

что и требовалось доказать.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

Остановимся более подробно на следующем примере иллюстративного характера. Допустим, что студент из 30 билетов успел выучить билеты с 1-го по 3-й и с 28-го по 30-й. На экзамен он пришел одиннадцатым, и оказалось, что к его приходу остались только билеты с 1-го по 20-й (событие А). Вероятность события В ={студент получил выученный билет} без дополнительной информации о том, что событие А произошло, может быть вычислена по классическому определению с Ω={1,2,…,30}. Согласно формуле (1)

При дополнительной информации (событие А произошло) множество возможных исходов А состоит из 20 элементарных исходов, а событие В вместе с А наступает в 3 случаях. Следовательно, в рассматриваемом примере естественно определить условную вероятность P(B\A)=P_A(B)= события В при условии, что событие А произошло, как.

Теорема 2 (теорема умножения). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

Р(АВ)=Р(А)*Р_А(В)

Доказательство. Воспользуемся обозначениями теоремы 1. Тогда для вычисления P_A(В) множеством возможных исходов нужно считать т_А (так как А произошло), а множеством благоприятных исходов – те, при которых произошли и А, и В (т_АВ). Следовательно,

откуда следует утверждение теоремы.

Дата добавления: 2014-01-07