Формула Бернулли

Формула полной вероятности. Формула Байесса.

Формула полной вероятности является следствием теорем сложения и умножения вероятностей.

Пусть некоторое событие А происходит только с каким-нибудь одним из событий Н₁, Н₂, Н₃, …, Н_n, которые образуют полную группу событий и называются гипотезами. В этом случае событие А можно представить в виде: А=А×Н₁ + А×Н₂ + А×Н₃ + … +А×Н_n. Отсюда, применяя теоремы сложения и умножения вероятностей и учитывая, что гипотезы попарно несовместны, получим:

(8), которая называется формулой полной вероятности. Используя формулы (6) и (8), можно получить формулу Байесса (формулу вероятности гипотез):

(9).

Пример В районе имеется три хлебных магазина. Вероятность того, что человек пойдет за хлебом в первый магазин, равна 0,5; во второй – 0,3; в третий – 0,2. Вероятность купить в магазинах свежий хлеб равна соответственно 0,7; 0,5 и 0,3. Человек пошел за хлебом. Найти вероятность того, что он купит свежий хлеб.

Решение: Обозначим А – событие, состоящее в том, что человек купит свежий хлеб; Н₁- покупка была сделана в первом магазине, Н₂ - во втором, Н₃ – в третьем. Из условия задачи известны: Р(Н₁)=0,5; Р(Н₂)=0,3; Р(Н₃)=0,2, а также , , . По формуле полной вероятности имеем:

.

Пример Данные из предыдущего примера. Известно, что человек купил свежий хлеб. Найти вероятность того, что покупка сделана в первом магазине.

Решение: Используя полученные выше результаты, по формуле (9) находим: .

Если производится несколько опытов, вероятность появления события А в каждом из которых постоянна и не зависит от исходов остальных опытов, то такие опыты называются независимыми от события А.

Пусть производится n независимых опытов, вероятность появления события А в каждом из которых постоянна и равна р. Тогда вероятность его непоявления в каждом из опытов также постоянна и равна 1-р=q. Требуется найти вероятность того, что в n опытах событие А появится ровно m раз и не появится n-m раз. Формула для ее нахождения: , где (10), называется формулой Я. Бернулли.

Пример Вероятность попадания в цель при одном выстреле составляет р =0,8. Найти вероятность 7 попаданий при 10 выстрелах.

Решение: Здесь n =10, m =7, р =0,8, q =1-0,8=0,2. По формуле (10) находим:

Задачи для самостоятельной работы

1. В урне находится 8 белых и 12 черных шаров. Наугад один за одним извлекают два шара. Найти вероятность того, что: 1) оба шара окажутся черными; 2) шары будут разного цвета; 3) первый шар будет черный; 4) второй шар – белый.

2. Решить предыдущую задачу при условии, что шары извлекаются одновременно.

3. В ящике находится 24 детали, причем 15 из них стандартные. Найти вероятность того, что с двух попыток (а также со второй попытки) будет извлечена стандартная деталь.

4. В первом ящике находится 12 белых и 6 черных шаров, а во втором 15 белых и 3 черных. Найти вероятность того, что из случайно выбранного ящика будет извлечен белый шар.

5. Найти вероятность того, что с третьей попытки будет угадано задуманное однозначное число.

6. В ящике в случайном порядке расположены 20 деталей, причем 5 из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из них окажется стандартной.

7. На карточках написаны буквы «к», «н», «т», «и», «о». Найти вероятность того, что из наугад выбранных и разложенных в ряд трех карточек сложится слово «ток».

8. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.

9. В ящике находится три вида деталей: 10 штук – первого, 15 – второго, 5 – третьего вида. Найти вероятность того, что из двух извлеченных деталей одна окажется первого, а другая третьего вида.

10. В классе 7 отличников, 14 хорошистов, 3 троечника. Вероятности для них ответить на вопрос учителя соответственно равны 0,9; 0,5; 0,3. Какова вероятность того, что наугад вызванный ученик ответит на вопрос? И если случайно вызванный ученик ответил на вопрос, то какова вероятность того, что это был хорошист?

11. Ученик забыл тетрадь в одном из кабинетов. Вероятность забыть ее в первом из них равна 0,5; во втором – 0,2; в третьем – 0,7. Какова вероятность того, что тетрадь забыта во втором кабинете.

12. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,15. Какова вероятность того. Что по крайней мере один из 4 билетов окажется выигрышным?

Дата добавления: 2014-01-07