Критерии оптимальности и целевые функции

В САПР процедуры параметрического синтеза выполняются либо че­ловеком в процессе многовариантного анализа (в интерактивном режиме), либо реализуются на базе формальных методов оптимизации (в автомати­ческом режиме). В последнем случае находят применение несколько по­становок задач оптимизации.

Наиболее распространенной является детерминированная постановка: заданы условия работоспособности на выходные параметры Y и нужно найти номинальные значения проектных параметров X, к которым отно­сятся параметры всех или части элементов проектируемого объекта. На­зовем эту задачу оптимизации базовой. В частном случае, когда требования к выходным параметрам заданы нечетко, к числу рассчитываемых величин могут быть отнесены также нормы выходных параметров, фигурирующие в их условиях работоспособности.

Если проектируются изделия для дальнейшего серийного производст­ва, то важное значение приобретает такой показатель, как процент выпуска годных изделий в процессе производства. Очевидно, что успешное выпол­нение условий работоспособности в номинальном режиме не гарантирует их выполнения при учете производственных погрешностей, задаваемых до­пусками параметров элементов. Поэтому целью оптимизации становится максимизация процента выхода годных, а к результатам решения задачи оптимизации относятся не только номинальные значения проектных пара­метров, но и их допуски.

Базовая задача оптимизации ставится как задача математического про­граммирования

extr F(X), (1.1)

XÎD,

D_х={Х|j(Х)>0,ψ(Х)=0}, где F(X) — целевая функция, X — вектор управляемых (проектных) па­раметров, j(Х) и ψ(Х) —функции-ограничения; D_x —допустимая об­ласть в пространстве управляемых параметров. Запись (1.1) интерпретиру­ется как задача поиска экстремума целевой функции путем варьирования управляемых параметров в пределах допустимой области.

Таким образом, для выполнения расчета номинальных значений пара-' метров необходимо, во-первых, сформулировать задачу в виде (1.1), во-; вторых, решить задачу поиска экстремума F(X).

Сложность постановки оптимизационных проектных задач обусловле­на наличием у проектируемых объектов нескольких выходных параметров, которые могут быть критериями оптимальности, но в задаче (1.1) целевая функция должна быть одна. Другими словами, проектные задачи являются многокритериальными, и возникает проблема сведения многокритериаль­ной задачи к однокритериальной.

Применяют несколько способов выбора критерия оптимальности.

В частном критерии среди выходных параметров один выбирают в качестве целевой функции, а условия работоспособности остальных вы­ходных параметров относят к ограничениям задачи (1.1). Эта постановка вполне приемлема, если действительно можно выделить один наиболее критичный выходной параметр. Но в большинстве случаев сказывается не­достаток частного критерия (рис. 1.1).

На этом рисунке представлено двумерное пространство выходных па­раметров у₁ и у₂, для которых заданы условия работоспособности у ₁ < Т₁ и у₂ < Т₂. Кривая АВ является границей достижимых значений выходных параметров. Это ограничение объективное и связано с сущест­вующими физическими и технологическими условиями производства, называемыми условиями реализуемости. Область, в пределах которой выполняются все условия реализуемости и работоспособности, называ­ют областью работоспособности. Множест­во точек пространства выходных параметров, из которых невозможно перемещение, приво­дящее к улучшению всех выходных парамет­ров, называют областью компромиссов, или областью Парето. Участок кривой АВ (см. рис. 1.1) относится к области Парето.

Рисунок 1.1. Области Парето и работоспособности

Если в качестве целевой функции в ситуации рис. 1.1. выбрать пара­метр у₁, то результатом оптимизации будут параметры X, соответствую­щие точке В. Но это граница области работоспособности и, следовательно, при нестабильности внутренних и внешних параметров велика вероятность выхода за пределы области работоспособности. Конечно, результаты мож­но улучшить, если применять так называемый метод уступок, при котором в качестве ограничения принимают условие работоспособности со скоррек­тированной нормой в виде

у₂<Т₂+Δ,

где Δ — уступка. Но возникает проблема выбора значений уступок, т. е. результаты оптимизации будут иметь субъективный характер. Очевидно, что ситуация не изменится, если целевой функцией будет выбран пара­метр у₂, — оптимизация приведет в точку А.

Аддитивный критерий объединяет (свертывает) все выходные пара­метры (частные критерии) в одну целевую функцию, представляющую со­бой взвешенную сумму частных критериев

(1.2)

где w _j — весовой коэффициент, т — число выходных параметров.

Функция (1.2) подлежит минимизации, при этом если условие работоспо­собности имеет вид у_j > T_j, то w _j < 0.

Недостатки аддитивного критерия — субъективный подход к. выбору весовых коэффициентов и неучет требований ТЗ. Действительно в (1.2) не входят нормы выходных параметров.

Аналогичные недостатки присущи и мультипликативному критерию, целевая функция которого имеет вид

(1.3)

Нетрудно видеть, что если прологарифмировать (1.3), то мультипликатив­ный критерий превращается в аддитивный.

Более предпочтительным является максиминный критерий, в качестве целевой функции которого принимают выходной параметр, наиболее не­благополучный с позиций выполнения условий работоспособности. Для оценки степени выполнения условия работоспособности j-ro выходного параметра вводят запас работоспособности этого параметра S_j, и этот за-

пас можно рассматривать как нормированный j -й выходной параметр. На­пример (здесь и далее для лаконичности изложения предполагается, что все выходные параметры приведены к виду, при котором условия работоспо­собности становятся неравенствами в форме у_j < T_j):

или

где у_номj — номинальное значение, а δ_j — некоторая характеристика

рассеяния j -го выходного параметра, например, трехсигмовый допуск. То­гда целевая функция в максиминном критерии есть

Здесь запись [1: т ] означает множество целых чисел в диапазоне от 1 до т. Задачу (1.1) при максиминном критерии конкретизируют следующим об­разом:

где допустимая область D_x определяется только прямыми ограничениями на управляемые параметры х_j:

x_imin < x_i < x_imax

Дата добавления: 2014-01-07