Решение. но проще воспользоваться вероятностью противоположного события – ни один объект не потерян – и вычесть ее из единицы

Пример.

Решение.

Формула Пуассона.

Решение.

формуле:

,

но проще воспользоваться вероятностью противоположного события – ни один объект не потерян – и вычесть ее из единицы

.

Ответ: 0,65.

Непосредственное применение формулы Бернулли пи большом числе испытаний связано с громоздкими вычислениями. Поэтому при больших n вместо нее, как правило, используют приближенные формулы Пуассона, Муавра –Лапласа.

Если число испытаний n достаточно велико, а вероятность достаточно мала, причем произведение a=np не мало и не велико (обычно достаточно условий p ≤0,1; npq <10), то вероятность можно приближенно вычислить по формуле Пуассона

≈

Пример.

Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

n=5000, p = 0,0002, m = 3, a = 5000∙0,0002 = 1.

(3) = =

8. Локальна формула Муавра – Лапласа.

Теорема. Если число испытаний n достаточно велико, а вероятности и q не очень близки к нулю (обычно достаточно условий n >100, npq >20), то вероятность можно приближенно найти по локальной формуле Муавра – Лапласа

≈ x =, φ(x) = - функция Гаусса.

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции φ(x) =

Для отрицательных значений аргумента х пользуются теми же

таблицами, так как φ(х) – четная, т.е. φ(-х) = φ(х).

Итак, вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях ровно m раз, приближенно равно

≈ x =.

Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз.

По условию, n =10, m = 8 p = 0,75, q = 1 -0,75 = 0,25.

Воспользуемся локальной формулой (или асимптотической) Лапласа

φ(0,36) = 0,3739,

9. Интегральная формула Муавра – Лапласа.

Вновь предположим, что производится n испытаний, в которых вероятность появления события А постоянна и равна. Как вычислить вероятность того, что событие А появится в n испытаниях не менее и не более этот вопрос отвечает интегральная теорема Муавра- Лапласа.

Теорема. В условиях интегральной формулы Муавра-Лапласа вероятность

где

, - функция Лапласа.

При решении задач, требующих применения интегральной формулы Муавра – Лапласа, используют специальные таблицы, так как определенный интеграл не выражается через элементарные функции.

Таблицы даны для положительных значений х и для х=0. Для х<0, пользуются ими же, учитывая, что Ф(-х) = - Ф(х).

Пример. Вероятность наступления события А в данном испытании равна 0,5. Найти вероятность того, что событие А наступит от 500 раз до 530 раз в 1000 испытаниях.

Решение.

n = 1000, p = 0,5,

,

= 0, = =

10. Случайные величины

Определение. Случайной величиной называют переменную величину, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Примеры: Число появления герба при трех бросаниях монеты.

Случайные величины обозначают прописными буквами X,Y,Z,…, а их возможные значения – x,y,z,…

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, принимающая отдельные друг от друга значения, которые можно перенумеровать.

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют какой-то промежуток.

Ряд распределения (закон распределения)

Соотношение, устанавливающее тем или иным способом связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется рядом распределения:

				…
				…

где.

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения.

x_i

p_i

x ₄

x ₃

x ₂

x ₁

x ₅

x ₆

Дата добавления: 2014-01-07