Выделение областей устойчивости

При помощи критерия устойчивости устанавливается факт устойчивости или неустойчивости САР, все параметры которой заданы. Однако, часто при проектировании и наладке систем возникает более общая задача анализа устойчивости – определение допустимых (по условию устойчивости) пределов изменения некоторых параметров системы. В качестве таких варьируемых параметров обычно рассматривают коэффициенты передачи и постоянные времени регулятора, которые можно целенаправленно изменять при настройке системы.

Допустимые пределы варьирования параметров системы можно определить путем построения области устойчивости. Областью устойчивости называется область в пространстве варьируемых параметров, каждой точке которой соответствуют только левые корни характеристического уравнения. Область устойчивости выделяет из всех возможных значений параметров лишь те значения, при которых САР устойчива. Поверхность, ограничивающая область устойчивости называется границей области устойчивости.

Граница области устойчивости в принципе может быть найдена путем многократного применения одного из критериев устойчивости, при различных значениях варьируемых параметров. Однако, такой путь связан с большим объемом вычислений. Эффективным методом отыскания границ области устойчивости является метод D – разбиения, предложенный учеными Соколовым А.А. и Неймарком Ю.И.

4.6.1. Сущность метода D – разбиения

Пусть анализируемая система описывается характеристическим уравнением

. (4.12)

В общем случае, в пространстве варьируемых параметров существуют такие значения параметров, при которых l корней расположены справа, а (n-l) – слева от мнимой оси комплексной плоскости корней. Совокупность всех таких значений образует в пространстве коэффициентов область, которая обозначается как

D (n-l,l). Однако, существуют и другие области. В частности область D (n;0) которая является областью устойчивости.

Процесс построения в пространстве параметров (коэффициентов) областей с различным распределением корней называется D – разбиением. Линии, разграничивающие эти области, называются кривыми D – разбиения. Совокупность значений варьируемых параметров, соответствующих всем возможным значениям w от -¥ до +¥ дают все точки кривой D – разбиения. Выделение области D(n;0) среди остальных областей производят при помощи специальной процедуры – штриховки кривых D – разбиения.

4.6.2. D – разбиение в плоскости одного параметра

Предположим, что варьируемый параметр k линейно входит в характеристическое уравнение, т.е.

, (4.13)

где F(p), Z(p) – степенные полиномы от параметра p. Заменив в выражении (4.13) p на jw и разрешив его относительно k, имеем, что

. (4.14)

Изменяя в выражении (4.14) частоту w от -¥ до +¥, в системе координат U (w) и jV (w) строится кривая D – разбиения, представленная на рис. 4.16.

Рис. 4.16. Кривая D-разбиения.

Так как U (w) четная функция переменной w, а V (w) – нечетная функция, то кривая D – разбиения всегда симметрична относительно действительной оси U (w). Поэтому при построении кривой D – разбиения достаточно построить ее при изменении частоты от 0 до +¥, а на частотах от -¥ до 0 строить ее как зеркальное отображение первой. Кривая D – разбиения делит плоскость параметра k на несколько областей с различными вариантами расположения корней. Область устойчивости D (n;0) выделяется с помощью штриховки. Доказано, что в плоскости варьируемого параметра область устойчивости находится слева от кривой D – разбиения, т.е. при изменении частоты от -¥ до +¥ кривую D – разбиения всегда штрихуют слева. В результате чего и получается несколько областей с различным числом левых и правых корней.

Область, внутрь которой направлена штриховка, может быть областью устойчивости. Чтобы удостовериться в этом, внутри рассматриваемой области берется произвольная точка на вещественной оси и пользуясь любым критерием устойчивости проверяют устойчивость системы. Если требования критерия устойчивости выполняются, то рассматриваемая область является областью устойчивости.

Замечание. На практике часто используется построение области устойчивости в плоскости двух параметров.

Дата добавления: 2014-01-07