Использование математических методов в исследованиях. Математический аппарат для построения математических моделей

На этапе выбора типа математической модели при помощи анализа данных поискового эксперимента устанавливаются: линейность или нелинейность, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса.

Линейность устанавливается по характеру статической характеристики исследуемого объекта. Под статической характеристикой объекта понимается связь между величиной внешнего воздействия на объект и максимальной величиной его реакции на внешнее воздействие. Под выходной характеристикой системы понимается изменение выходного сигнала системы во времени.

При выборе типа модели вероятностного объекта важно установление его стационарности. Обычно о стационарности или нестационарности вероятностных объектов судят по изменению во времени параметров законов распределения случайных величин. Чаще всего для этого используют среднее арифметическое случайной величины и среднее квадратическое отклонение случайных величин среднего арифметического и среднего квадратического отклонения во времени.

Как видно из схемы (рис.), выбор математического аппарата не является однозначным и жестким.

Рис. Математический аппарат для построения математической модели

В непрерывных объектах все сигналы представляют собой непрерывные функции времени. В дискретных объектах все сигналы квантуются по времени и амплитуде.

Установление непрерывности объекта позволяет использовать для его моделирования дифференциальные уравнения. В свою очередь, дискретность объекта предопределяет использование для математического моделирования аппарата теории автоматов.

Результаты поискового эксперимента и априорный информационный массив позволяют установить схему взаимодействия объекта с внешней средой по соотношению входных и выходных величин. В принципе возможно установление четырех схем взаимодействия:

одномерно-одномерная схема - на объект воздействует только один фактор, а его поведение рассматривается по одному показателю (один выходной сигнал);

одномерно-многомерная схема - на объект воздействует один фактор, а его поведение оценивается по нескольким показателям;

многомерно-одномерная схема - на объект воздействует несколько факторов, а его поведение оценивается по одному показателю;

многомерно-многомерная схема - на объект воздействует множество факторов и его поведение оценивается по множеству показателей.

Выбор вида модели динамического объекта сводится к составлению дифференциальных уравнений. Модель динамического объекта может быть построена и в классе алгебраических функций. Однако такой подход является ограниченным, так как не позволяет в математическом описании учесть влияния входных воздействий на динамику выхода без перестройки самих алгебраических функций.

Поэтому по полноте модели отдается предпочтение математическим моделям, построенным в классе дифференциальных уравнений.

Если интересующие исследователя переменные являются только функциями времени, то для моделирования используются обыкновенные дифференциальные уравнения. Если же эти переменные являются также функциями пространственных координат, то для описания таких объектов недостаточно обыкновенных и следует пользоваться более сложными дифференциальными уравнениям в частных производных.

Дата добавления: 2014-01-07