Степенная аппроксимация

Аппроксимация нелинейных характеристик

Оптимальный выбор способа аппроксимации зависит от вида нелинейной характеристики и режима работы нелинейного элемента. На практике для аппроксимации чаще всего используют степенную, кусочно – линейную и показательную функции.

Она основана на разложении нелинейной ВАХ в ряд Тейлора в окрестности рабочей точки, т. е. зависимость i (u) представляется рядом Тейлора:

,

где U ₀ – рабочая точка (определяется постоянным напряжением)

,

т. е. значение соотношений производной в рабочей точке деленной на k!.

Рис. 5.2 Характеристика БНЭ и ее угол наклона

Коэффициент а ₁

, при u=U₀,

определяет тангенс угла наклона касательной к характеристике в рабочей точке, т. е. это крутизна характеристики в рабочей точке и это есть S. Значение крутизны зависит от положения рабочей точки на характеристике.

Используемые на практике режимы нелинейного элемента:

1. Режим малого сигнала

Сигнал трансформируется тем или иным участком БНЭ описываемым полиномом 2-го порядка (Рисунок 5.3).

Рис. 5.3 Характеристика БНЭ и ее угол наклона

Например, рабочая точка на начальном участке ВАХ, а входной сигнал мал и не выходит за пределы начального участка. В рассматриваемом случае полином второй степени равен:

i (U ₀) – постоянная составляющая, определяющаяся внешним источником (т. е. положением рабочей точки).

Имеется два неизвестных коэффициента a ₁ и а ₂. Для нахождения a ₁ и а ₂ необходимо составить систему двух уравнений. Например, можно находить коэффициенты из условия совпадения реальной характеристики и аппроксимирующей функции на границах рабочего диапазона.

Рис. 5.4 Характеристика БНЭ и ее аппроксимация

На практике часто коэффициент a ₁ берут равным крутизне характеристики в рабочей точке S, коэффициент а ₂ находят из условия равенства тока нулю при определенном напряжении u _н.

2. Первый режим большого сигнала

Рис. 5.5 Характеристика БНЭ с рабочей точкой в середине

Рабочая точка находится в точке перегиба, а входное напряжение велико, но не выходит в зоны отсечки и насыщения.

Для аппроксимации в данном случае обычно используют полином третей степени. Учитывая, что в точке перегиба все производные чётного порядка равны нулю, характеристику можно представить в виде:

Коэффициент а ₁ берут равным крутизне характеристики, т. е. а ₁ = S. Коэффициент а ₃ обычно определяют из условия, что при производная равняется нулю

3. Второй режим большого сигнала

Рис. 5.6 Характеристика БНЭ с рабочей точкой в начале

Рабочая точка находится на начальном участке характеристики, а входной сигнал достаточно большой (захватывается зона отсечки).

Для удовлетворительной аппроксимации требуется полином выше пятой степени, практически это нецелесообразно. Более рационально в этом случае использовать кусочно – линейную аппроксимацию. Характеристика при кусочно – линейной аппроксимации заменяется отрезками прямых. Число отрезков может быть любым, однако при большом числе отрезков преимущество её исчезает.

Дата добавления: 2014-01-07