Основные определения и свойства

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Действие интегрирования функций относится к дифференцированию функций как действие деление чисел относится к умножению. При вычислении интегралов решается задача отыскания самой функции по известной производной этой функции.

Первообразной от функции f(x) называется такая функция F(x) производнаяот которой равна данной функции f(x):

F(x) – первообразная для f(x) .

Например, для функции f(x)= первообразнойявляется . Но первообразной здесь является и всякая функция вида , где С – любая константа, поскольку

.

Теорема существования неопределенного интеграла: всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных, причем любые две из них отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Таким образом, формула охватывает все без исключения первообразные функции .

Неопределенным интегралом от функции называется все множество первообразных этой функции: , .

При этом называется подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования.

Геометрический смысл неопределенного интеграла – семейство интегральных кривых (рис. 1).

Рис. 1

Таблица основных интегралов

Таблица интегралов, в основном, следует из таблицы производных и имеет вид

1. , ; 7. ;

2. ; 8. ;

3. ; 9. ;

4. ; 10. ;

5. ; 11. ;

6. ; 12. ;

13. .

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла по переменной интегрирования x равна подынтегральной функции: .

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: =.

Т.е., знаки и , стоящие рядом, как бы, взаимно уничтожаются.

3. .

4. Интеграл суммы функций равен сумме интегралов от функций- слагаемых: .

5. Постоянный сомножитель можно выносить за знак интеграла: .

Дата добавления: 2014-01-14