Даны ограничения на диапазоны изменения варьируемых параметров. Математическую модель обьекта или обьект;

Математическую модель обьекта или обьект;

Лекция 5.1. Постановка задач оптимизации.

ОПТИМИЗАЦИЯ - процесс выбора наилучшего варианта из всех возможных. Optimus (лат.) –наилучший.

Например: наилучшие габариты конструкций, наилучшее распределение ресурсов, при проектировании систем управления стремятся к наилучшей работе системы (максимальному быстродействию, минимальному перерегулированию и т.д). Это цели оптимизации, целевые функции.

При решении задач требуется найти оптимальные значения некоторых параметров. При решении инженерных задач находят оптимальные значения проектных параметров, при решении экономических задач - плановых.

Число варьируемых параметров х1,х2,.....,хn определяет размерность задачи.

В общем случае имеем:

2. сформулирована цель задачи, т.е, дан критерий качества (оптимальности), или целевая функция, которую мы должны минимизировать или максимизировать; подбирая оптимальные значения варьируемых параметров,

Математическая модель:

Y(t,x₁,x₂,.....,x_п) (1)

Целевая функция:

ЦФ=F(t,x₁,x₂,.....,x_п)..®. max (.min)......(2)

Ограничения:

x^min _j £ x_j £ x^max _j

или

g(x₁,x₂,.....,x_п) £ 0

где x_j - варьируемые (проектные) параметры

t -время (независимый параметр).

Сравнение альтернативных решений проводится с помощью целевой функции (2), т.е требуется найти такие значения x_j,, при которых целевая функция имеет максимум или минимум.

Примеры целевых функций:

- прочность (масса) конструкций;

- мощность установок;

- обьем выпуска продукции;

- прибыль и др.

Целевая функция представляет:

- для одномерной задачи - кривую на плоскости

- для многомерной задачи - поверхность в n+1 мерном пространстве.

Целевых функций может быть несколько.

Например, при проектировании металлургического оборудования обеспечивается:

- максимальная надежность

- минимальная материалоемкость.

ЦЕЛИ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИX ПРЕДПРИЯТИЙ

Целевые функции конкретных задач должны исходить из первичных экономических целей, которые порождает микроэкономика промышленого предприятия.

Существует определенная иерархия целевых функций:

• Социальные,
• Экономические
• Энергетические
• Экологические,
• Технологические
• Технические, в т.ч. цели автоматихации.

При постановке и решении конкретной задачи оптимизации в технической сфере следует всегда оценить ее и с позиций целей более высокого уровня

Два типа задач оптимизации:

- безусловная - отыскание максимума или минимума целевой функции на некотором множестве G N - мерного пространства (обычно решают задачи минимизации)

- условная (задача с ограничениями) - при формировании которой задается некоторые условия (ограничения) на множестве G. Они задаются совокупностью некоторых функций, удовлетворяющих уравнениям или неравенствам.

Ограничения выражают зависимость между проектными параметрами, которая должна учитываться. Они отражают:

- законы природы;

- наличие ресурсов;

- финансовые требования и др.

Число ограничений может быть произвольным, они могут задаваться в виде неравенств или равенств. Количество ограничений – равенств должно быть всегда меньше размерности задачи оптимизации. Количество ограничений-неравенств может и превышать размерность задачи.

Особенность решений задач с ограничениями - оптимальное решение может соответствовать либо экстремуму внутри области допустимых значений варьируемых параметров, либо значениям целевой функции на границе области.

Теория и методы решения задач оптимизации - это математическое программирование.

Дата добавления: 2014-01-11