Координаты точки, радиус- вектор точки, произвольные вектора. Длина вектора.
Декартовая система координат.
Рассмотрим три ненулевых, не коллинеарных вектора в пространстве l1, l2, l3 - это базис ЛП V3. Приведем эти векторы к общему началу в точке О и расположим их по осям.
l3
l2
z
у
O
l1
х
Определение: Совокупность точки и базиса называется декартовой системой координат.
Определение: Если базисные вектора взаимно перпендикулярны, длины их равны 1, то такой базис называется ортонормированным. Базисные вектора называются ортами и обозначаются i, j, k, а система координат называется декартовой прямоугольной системой координат.
y
i
O
х
j
k
z
Свойство орт:
1) i ┴ j, i ┴ k, j ┴ k;
2) │i│= │j│= │k│= 1.
Декартовых систем координат бесконечное множество.
Определение: Тройка векторов a, b, c называется правой, если кратчайший поворот от вектора a к b, видимый с конца вектора с будет против часовой стрелки.
Если такой поворот по часовой стрелке, то тройка векторов называется левой.
правая тройка
с
b
а
а
b
с
левая тройка
Мы будем рассматривать такие системы координат, в которых базисные вектора образуют только правую тройку.
Возьмем в пространстве произвольную точку М(х, у, z). Первая координата х – абсцисса ‒ это проекция т. М на ось ОХ. Вторая у – ордината – это проекция т. М на ось ОУ. Третья z – аппликата – на ось OZ.
М
α
N
Проекция т. М на α
Чтобы найти проекцию точки на прямую, нужно через точку провести плоскость перпендикулярно этой прямой.
p
х
z
у
О
М (х, у, z)
Определение: Вектор, соединяющий начало координат т. О с произвольной точкой пространства называется радиус- вектор этой точки.
Радиус- вектор т. М – ОМ.
Найдем координаты радиус-вектора ОМ:
ОА= xi, ОВ= yj, ОС= zk.
OM= OP+ PM= OA+ OB+ OC= xi+ yj+ zk= (x, y, z).
Вывод: координаты радиус-вектора точки совпадают с координатами самой точки ОМ= (x, y, z).
Вектор ОМ является диагональю параллелепипеда, по свойству диагоналей d2= a2+ b2+ c2 . Отсюда следует, что │ОМ│2=x2+ y2+ z2. Извлекая, квадратный корень получаем длину.
Возьмем две произвольные точки т. А(x1, y1, z1) и т. В (x2, y2, z2). Соединим АВ.
Вывод: чтобы найти координаты вектора нужно из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора.
АВ= (x2- x1,, y2- y1, z2- z1).
Пример. Даны 3 точки т. А(2,-1,3), т. В(4,0,1), т. С(-1,2,1). Найти АВ и его длину │АВ│, m= AB- 2BC.
Определение:Проекцией вектора на ось называется число, модуль которого равен проекции на эту ось отрезка, задающего вектор, причем число берется со знаком «+», если координата конца вектора больше координаты начала вектора, и со знаком «-», если координата начала больше координаты конца.
Через т. А и т. В проведем плоскости перпендикулярныеоси l, и найдем точки пересечения плоскости с осью.
Перенесем вектор АВ в точку А1. А1В1(проекция)=АВ. Из прямоугольного треугольника следует, что проекция АВ на ось l будет равна:
│АВ│· cos φ = прl AB.
прl AB=│АВ│· cos φ, где φ - это угол между вектором и осью.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление