Возьмем два вектора в координатной форме

Скалярное произведение в координатной форме.

Скалярное произведение координатных ортов.

Свойства скалярного произведения.

Скалярное произведение векторов.

Условие коллинеарности двух векторов.

Связь между координатами вектора и проекциями вектора на координатной оси.

Теоремы о проекциях.

Теорема 1. пр_l (а + b)= пр_l a + пр_l b.

Теорема 2. пр_l (λа)= λ пр_l а.

проекция

y₂

y₁

· A(x₁, y₁, z₁)

y

x

z

О

В (x₂, y₂, z₂)

пр_OY АВ= y₁- y₂, пр_OX АВ= x₁- x₂, пр_OZ АВ= z₁- z₂.

Вывод: проекции вектора на координатные оси совпадают с координатами вектора.

а

b

Возьмем два коллинеарных вектора а= (а_х, а_у, а_z) ║ b= (b_x, b_y, b_z).

b= λa.

В координатной форме:

Сравнивая соответствующие координаты первые, вторые и третьи получим:

.

Условие коллинеарности: Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны.

Замечание: если одна из координат вектора равна 0, то у коллинеарного вектора соответствующая координата тоже равна 0.

Задание вектора в пространстве.

Любой вектор в пространстве имеет длину и направление.

Длина вектора │ а │=.

Направление вектора задают три направляющих косинуса: cos α, cos β, cos γ, где Ðα- угол между и ОХ, Ðβ- угол между a и ОУ, Ðγ- угол между a и OZ.

i

β

y

O

х

j

γ

k

z

α

Ðα= Ð (a,i), Ðβ=Ð (a,j), Ðγ =Ð (a,k).

cos α=, cos β=, cos γ=.

Свойство направляющих косинусов:

cos² α+ cos² β+ cos² γ= 1.

Определение: Единичный вектор, имеющий своими координатами направляющие косинусы вектора a называется единичным вектором направления а и обозначается a ₀= (cosα, cosβ, cosγ).

а

а₀

Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число равное произведению длин этих векторов (модулей) на косинус угла между векторами.

По определению: a • b= │a│·│b│· cos φ.

,.

,.

- связь между скалярным произведением и проекцией вектора на вектор.

1 ° коммутативность: a • b = b •· a.

a • b= │a│·│b│· cos φ= │b│·│a│· cos φ= b • a.

2° условие перпендикулярности: a • b= 0, т.к. a _┴ b или a или b= 0.

1. a _┴ b, φ= 90°, cos 90°= 0, a • b= │a│·│b│·0= 0.

2. a= 0, │a│= 0, a • b= 0 ·│b│· cos φ= 0.

3° (λa)•b= λ(a•b).

(λa)•b= │λa│·│b│· cos φ=λ│a│·│b│· cos φ= λ(a•b).

4° a•(b + c)= a•b + a•c.

a•(b + c)= │a│·(b + c)= │a│·(пр_а b + пр_а c)= │a│·пр_а b +│a│· пр_а c=

= a•b + a•c.

5° скалярный квадрат: а • а= │a│².

а • а=│a│·│а│· cos 0°=│a│².

Следствие:.

Пример. Пользуясь определением скалярного произведения и его свойствами вычислить a • b, │a│, если, а= 2p - q, b= p + 3q, где │p│=2, │q│=3,

Ðφ= p;q=.

i × j= 0, так как i ^ j (из 2°);

i × k= 0, так как i ^ k (из 2°);

k × j= 0, так как k ^ j (из 2°);

i × i=│i│² = 1²=1;

j × j=│j│² = 1²=1;

k × k=│k│² = 1²=1.

а= (а_х, а_у, а_z)= a_xi + a_yj + a_zk, b= (b_x, b_y, b_z)= b_xi + b_yj + b_zk.

a • b= (a_xi + a_yj + a_zk)•(b_xi + b_yj + b_zk)= a_xi•b_xi + a_xi•b_yj + a_xi •b_zk + a_yj• b_xi +

+ a_yj• b_yj + a_yj •b_zk + a_zk •b_xi + a_zk•b_yj + a_zk •b_zk = a_x b_x i• i + a_x b_y i•j + a_x b_z i•k+

+a_y b_x i• j + a_y b_y j• j + a_y b_z i• k + a_z b_x i•k + a_z b_y k• j + a_z b_z k•k=

= a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.

Если векторы заданы в координатной форме, то для вычисления скалярного произведения используем формулу:

a • b= a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.

Приложения скалярного произведения.

1) Угол между векторами:

.

Ðj - острый, cos j> 0, отсюда следует, что a • b> 0.

Ðj - тупой, cos j< 0, отсюда следует, что a • b< 0.

Ðj= 90°, cos j= 0, отсюда следует, что a • b= 0.

2) Проекция вектора на вектор:

.

Пример. Дан треугольник АBС, т. A(2, -1, 3), т. B(4, 0, 1), т. С(-1, 3, 0). Найти угол А, пр_AC AB-?

Дата добавления: 2014-01-15