Векторное произведение в координатной форме

Векторные произведения координатных ортов.

Векторное произведение двух векторов.

Определение: Векторным произведением a´b векторов a и b называется третий вектор с, обладающий следующими свойствами:

1° │с│=│a│·│b│·sin φ, где Ðj= a,b;

2° вектор c ^ a, c ^b, т.е. с ^ плоскости, в которой лежат вектора а и b;

3° кратчайший поворот от вектора a к b, видимый с конца вектора с будет против часовой.

Свойства векторного произведения:

1° антикоммутативность: a´b= - b´a.

a´b= с, b´a= -с.

2° (λa)´b= λ (a´b).

3° a´(b + с)= a´b + a´с.

4° a ´ а= 0.

│ a ´ а │=│a│·│а│sin 0°= 0. Отсюда следует, что a ´ а= 0.

T r2RX0EUavhCH5YG1N7qKsmdSjTJWp/SRxsDcyKEfyiH2bDELjwPHJVR3SKyFccJxI1FowX6npMfp Lqj7tmNWUKLeaWzOcjqbhXWIymz+KkPFnlvKcwvTHKEK6ikZxY0fV2hnrGxajDSOg4YrbGgtI9mP WR3zxwmO7TpuW1iRcz16Pf4T1r8BAAD//wMAUEsDBBQABgAIAAAAIQBJ1wxp3QAAAAgBAAAPAAAA ZHJzL2Rvd25yZXYueG1sTI/BTsMwEETvSPyDtUhcUGs3EikJcaqqAnFu4cLNjbdJRLxOYrdJ+XqW ExxX8zTzttjMrhMXHEPrScNqqUAgVd62VGv4eH9dPIEI0ZA1nSfUcMUAm/L2pjC59RPt8XKIteAS CrnR0MTY51KGqkFnwtL3SJyd/OhM5HOspR3NxOWuk4lSqXSmJV5oTI+7Bquvw9lp8NPL1XkcVPLw +e3edtthf0oGre/v5u0ziIhz/IPhV5/VoWSnoz+TDaLTsEgzJjVk6RoE50m2AnFk7lGtQZaF/P9A +QMAAP//AwBQSwECLQAUAAYACAAAACEAtoM4kv4AAADhAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0Nv bnRlbnRfVHlwZXNdLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQA4/SH/1gAAAJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAA AC8BAABfcmVscy8ucmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQClGlbNNQIAAFsEAAAOAAAAAAAAAAAAAAAA AC4CAABkcnMvZTJvRG9jLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQBJ1wxp3QAAAAgBAAAPAAAAAAAAAAAA AAAAAI8EAABkcnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAAmQUAAAAA " strokecolor="white">

i

k

j

Если первый орт умножить векторно на второй орт, то по стрелке получим третий орт, причем взятый с «+», если поворот против часовой стрелки, и берется с «-», если по часовой стрелке.

i´j= k,

i´k= -j,

j´k= i,

j´i= -k,

i´i= 0.

a´b= (a_xi + a_yj + a_zk)×(b_xi + b_yj + b_zk)= a_x b_x i× i + a_x b_y i× j + a_x b_z i ×k +

+a_y b_x j×i + a_y b_y j×j + a_y b_z j×k + a_z b_x k×i + a_z b_y k× j + a_z b_z k×k=

= a_x b_y k – a_x b_z j- -a_y b_x k+ a_y b_z i+ a_z b_x j - a_z b_y i=

= i(a_y b_z - a_zb_y)- j(a_x b_z - a_z b_x)+ k(a_x b_y - a_y b_x)=

=i- j+ k.

.

Приложения векторного произведения.

1) Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, как на сторонах, численно равна модулю векторного произведения a ´ b.

S_пар=│a ´ b│.

Из геометрии: S_пар=│a│·│b│sin φ.

Так как │a ´ b│= │a│·│b│sin φ, отсюда следует, что S_пар=│a ´ b│.

Следствие: из геометрии S_пар=│a·│h_a,,

где h_a – высота, проведенная к стороне a.

2).

h_a

3) a║b. Отсюда следует, что a´b=0 (из условия коллинеарности двух векторов).

b

а

b

а

Ðj= 0°, sin 0°= 0   Ðj=180°, sin 180°= 0

│a´b│= │a│·│b│sin φ= 0,

│a´b│= 0.

Пример. Дано a=2p–q, b=p+3q, │q│=2,│p│=1, Ðj = (p, q)=. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

Пример. Дан ∆ABC. т. А(2, -1, 3), т. B(4, 0, -2), т. С(1, -1, 3). Найти S_∆-?, h_AB-?

Дата добавления: 2014-01-15