Теорема о существовании определенного интеграла. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует определенный интеграл

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует определенный интеграл.

Замечание:

1. Определенный интеграл является числом.

2. Определенный интеграл зависит от a, от b, от f(x) и не зависит от переменной интегрирования.

= =.

Свойства определенного интеграла.

Установим теперь,исходя из определения интеграла, его простейшие свойства. При этом подынтегральную функцию будем считать непрерывной.

1^*. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т. е. если k-некоторое число, то

Действительно,

=k =

= k. (Здесь и далее)

2*. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых.

Например, для двух слагаемых f(x) и g(x) имеем:

. (1)

Действительно, согласно определению интеграла имеем:

=

Совокупность свойств 1* и 2* называется свойством л и н е й н о с т и.

3*. Если сегмент интегрирования [a,b] разбит на две части [a,c] и [c,b], то

(1)

Действительно, предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения сегмента [a,b] на части и от выбора промежуточных точек.Это позволяет при составлении каждой интегральной суммы включить точку сb число точек разбиения. Пусть Тогда интегральная сумма будет состоять из двух частей, одна из которых относится к сегменту [a,c], а другая - к сегменту [c,b]:

Переходя к пределу, получим

или (Здесь)

Геометрически свойство 3* выражает тот факт, что площадь криволинейной трапеции с основанием [a,b] равна сумме площадей криволинейных трапеций с основаниями [a,c] и [c,b].

Замечание. Свойство 3* было нами сформулировано в предположении, что a<c<b. Однако равенство (1) имеет место для любых чисел a, b и c.

4 *. Если на сегменте [a,b], то

В самом деле, так как и для любых i, то интегральная сумма Поэтому и предел интегральной суммы при т.е. также неотрицателен.

Можно доказать, что если на сегменте [a,b] непрерывная функция и хотя бы в одной точке этого сегмента, то имеет место строгое неравенство.

5 *. Если на сегменте [a,b] две функции f(x) и g(x) удовлетворяют неравенству, то.

Иными словами, неравенство можно почленно интегрировать.

В самом деле, разность, поэтому согласно свойству 4*. Но так как согласно свойствам 1* и 2*

Это свойство имеет простой геометрический смысл. Пусть обе функции f(x) и g(x) являются неотрицательными на сегменте [a,b]. Тогда криволинейная трапеция, ограниченная кривой y=f(x), содержит криволинейную трапецию, ограниченную кривой y=g(x). Поэтому площадь первой фигуры не меньше площади второй фигуры. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла,

6*. Теорема о среднем значении. Если f(x)-непрерывная на сегменте [a,b] функция, то существует такая точка ξ этого сегмента, что

Обозначим через m и M соответственно наименьшее и наибольшее значение функции f(x) на сегменте [a,b]. Тогда для любого x, выполняется неравенства

(2)

Применяя свойства 5* и 1*, из неравенства (2) получим

Но Следовательно,

Разделив все члены двойного неравенства (3) на b-a, получим, где. (4)

Таким образом, число является промежуточным между наименьшим значением m функции f(x) и ее наибольшим значением M. Так как непрерывная на сегменте [a,b] функция f(x) принимает все промежуточные значения между m и M, то найдется такое значение ξ на сегменте [a,b], для которого f (ξ)=.

Подставляя в выражение (4) вместо равное ему значение f (ξ), получим

Итак, определенный интеграл от непрерывной функции равен значению подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке, умноженному на длину сегмента интегрирования.

Итак, свойства определенного интеграла:

	f(x) и g (x)-непрерывны на [a,b]
	,	k-const
	Если f(x) и a≤b, то
	, где значение f(x) на [a;b]   m – наименьшее M – наибольшее
	Существует точка СÎ [a,b] такая, что (f(x) -непрерывна)

Вопросы для самоконтроля:

1.Определение определенного интеграла.

2.Свойства определенного интеграла.

Задачи для самостоятельного решения.

1.Проверьте равенство:.

2.Проверьте равенство:

3.Вычислите как предел интегральной суммы.

Решение типовых задач:

Пример 1. Вычислить интеграл.

Решение:.

Пример 2..

Решение: Так как то

.

Пример 3. Вычислить

Решение: Данный интеграл равен площади Q криволинейной трапеции, ограниченной параболой y=, ординатой x= b и прямой y=0.

Разобьем отрезок [0,b] на n равных частей точками:

За точки возьмем крайние правые точки каждого из отрезков. Составим интегральную сумму:

Как известно,,

поэтому

Дата добавления: 2014-01-15