Физический смысл зон Бриллюэна рассмотрим на примере двумерного кристалла. Построим зоны БР. Из физических принципов

Существование большого числа зон Бриллюэна не означает, что необходимо рассматривать энергию электрона в каждой из них: любое состояние электрона можно выразить посредством вектора k, в пределах зоны Бриллюэна, приведенной к первой зоне.

Физический смысл границ зоны Бриллюэна заключается в том, что они показывают такие значения волновых векторов или квазиимпульсов электрона, при которых электронная волна не может распространяться в твердом теле.

Структура зон Бриллюэна определяется только строением кристалла и не зависит от рода частиц, образующих кристалл, или от их межатомного взаимодействия. Границы зон Бриллюэна определяют условием, эквивалентным условию Вульфа-Брэгга для интерференционных максимумов при рассеянии рентгеновских лучей в кристалле. Это позволяет построить по рентгенограммам его зону Бриллюэна.

Таким образом, построение первой зоны Бриллюэна можно осуществить следующим образом. Сначала строится обратная решетка, затем с помощью множителя 2 осуществляется переход в k-пространство. После этого любой узел обратной решетки соединяют прямыми линиями с другими ближайшими соседними узлами. Через середины полученных отрезков проводятся перпендикулярные плоскости. Объем, заключенный между этими плоскостями и будет первой зоной Бриллюэна. – это решетка Вигнера-Зейта в обратном пространстве

Так как k -пространство отличается от пространства обратной решетки только масштабом, переход от элементарной ячейки обратной решетки к элементарной ячейке фазового пространства производят с помощью множителя 2 по каждой из осей обратной решетки.

Зона Бриллюэна — отображение ячейки Вигнера-Зейтца в обратном пространстве. В приближении волн Блоха волновая функция для периодического потенциала решётки твёрдого тела полностью описывается её поведением в первой зоне Бриллюэна.

Первая зона Бриллюэна (часто называемая просто зоной Бриллюэна) может быть построена как объём, ограниченный плоскостями, которые отстоят на равные расстояния от рассматриваемого узла обратной решётки до соседних узлов. Альтернативное определение следующее: зона Бриллюэна — множество точек в обратном пространстве, которых можно достигнуть из данного узла, не пересекая ни одной брэгговской плоскости.

Аналогичным образом можно получить вторую, третью и последующие зоны Бриллюэна. n-я зона Бриллюэна — это множество точек, которые можно достигнуть из данного узла, пересекая n-1 брэгговскую плоскость.

ОСНОВА: соотношение Вульфа-Брэггов для дифракции рентгеновских волн и электронов:

2asinφ=jλ, j =1,2,3.. – условие отражения здесь наблюдается разрыв в энергиях. Крайний случай φ=π/2

2a=jλ; λ=2π/k отсюда условие отражения для k, т.е. в k-пространстве

k=j π/a

В случае одномерной решетки, состоящей из одинаковых атомов, разрывы энергетического спектра имеют место при значениях волновых векторов , (). При этом ось значений k делится точками разрыва на отдельные участки, которые являются зонами Бриллюэна (рис.1).

Построим зоны Бриллюэна для плоской двумерной квадратной решетки с периодом a. Границы зон определяются условиями Вульфа-Брэгга, определяющими значения длин волн (волновых векторов), при которых электронные волны отражаются решеткой:

или ,

Где ,

-расстояние между параллельными отражающими плоскостями (в двумерном случае - линиями) в реальном r-пространстве, а - расстояние между соответствующими этим плоскостям границами зон Бриллюэна в k-пространстве (пространстве волновых векторов). Таким образом, каждому семейству атомных плоскостей с периодом a _i в координатном пространстве соответствует семейство параллельных плоскостей в импульсном пространстве (р-пространстве) с периодом , на которых энергия электрона испытывает разрыв. Поэтому, чтобы найти границы зон Бриллюэна, будем рассматривать последовательно семейства эквидистантных отражающих плоскостей (рис. 16), образованных атомами кристалла, начиная с семейств с максимальным периодом. К таким семействам в нашем случае относятся два взаимно перпендикулярных семейства плоскостей (линий), перпендикулярных e_x (оси х) и перпендикулярных e_y (оси у). Расстояние между отражающими плоскостями (линиями) в обоих семействах равно периоду решетки a ₁ =a.

Рис. 1. Двумерная решетка в пространстве координат. Штриховыми линиями показаны линии, проходящие через узлы решетки от которых также могут отражаться электроны, расстояния между ними больше, чем между сплошными линиями

Электронные волны с волновыми векторами, имеющими компоненту k _x волнового вектора, равную (), испытывают брэгговское отражение от плоскостей первого семейства, перпендикулярных e_x. При этих значениях k _x в энергетическом спектре появляются зоны запрещенных значений энергии, то есть энергия терпит разрыв. В k-пространстве линии разрыва энергии (границы зон Бриллюэна) для таких электронов изобразятся эквидистантными линиями , перпендикулярными оси k_x (рис.2).

Рис. 2. Двумерная решетка в пространстве импульсов (обратная решетка-вот она зачем нам нужна). Квадрат в центре построен исходя из сплошных линий на рис.1, т.е. для наибольших расстояний между плоскостями a1=ф. Квадрат – первая зона Бриллюэна

Дата добавления: 2014-01-15