Предел функции. · Произведение бесконечно малой последовательности на бесконечно большую может стремиться в пределе к чему угодно

Замечания

· Произведение бесконечно малой последовательности на бесконечно большую может стремиться в пределе к чему угодно, либо не иметь предела.

График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L.

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении аргумента к данной точке.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально, под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).

В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т.н. базу подмножеств области определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.

Поскольку на расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удалённой точки, то оказывается допустимым описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а, также, описание ситуации, когда функция сама стремится к бесконечности (в заданной точке). Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента), как раз предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».

Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений и всякой его окрестности сколь угодно близко от заданной точки существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами заданной окрестности.

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению в данной функции, то функция оказывается непрерывной (в данной точке).

Предел фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа.

Содержание · 1 Определение · 2 Определения o 2.1 Предел функции по Гейне o 2.2 Предел функции по Коши o 2.3 Окрестностное определение по Коши o 2.4 Предел по базе множеств o 2.5 Эквивалентность определений · 3 Вариации и обобщения o 3.1 Односторонний предел o 3.2 Предел вдоль фильтра o 3.3 Пределы на бесконечности § 3.3.1 Предел на бесконечности по Гейне § 3.3.2 Предел на бесконечности по Коши § 3.3.3 Окрестностное определение по Коши · 4 Обозначения · 5 Свойства пределов числовых функций · 6 Примеры

Дата добавления: 2014-01-15