Свойства сложения(разности) и умножения матрицы на число

1).А+В=В+А; 5).1·А=А;

2).А+(В+С)=(А+В)+С; 6).α(А+В)=αА+αВ;

3).А+0=А; 7).(α+β)А=αА+βА;

4).А-А=0; 8).α(βА)= (αβ)А, где А,В,С-матрицы; α,β-числа.

2.2.Ранг матрицы.

Рассмотрим матрицу А размера mхn и выделим k-строк и k-столбцов (k≤min(m,n)).

Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами матрицы. Таких миноров можно составить штук, где

- число сочетаний из п элементов по k.

Определение. Наибольший из порядков миноров данной матрицы отличных от нуля,называется рангом матрицы и обозначается r(А) или rang(А).

Очевидно, что 0≤ r ≤min(m,n), где min(m,n)- меньшее из чисел m,n.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

ПРИМЕР. Найти ранг матрицы .

Все миноры 3-го порядка равны нулю.

Есть минор 2-го порядка ,следовательно r(А)=2.

Ранг матрицы можно определять также и по количеству ненулевых рядов.

Вырожденная и невырожденная матрица.

Определение. Пусть А - квадратная матрица n-го порядка.

Квадратная матрица называется невырожденной, если определитель ∆ ≠0

(не равен нулю).

Квадратная матрица называется вырожденной, если определитель ∆ =0

(равен нулю).

ТЕОРЕМА. Ранг матрицы не изменится, если:

1).Поменять местами два параллельных ряда;

2).Умножить каждый элемент ряда на один и тот же множитель λ≠0;

3).Прибавить к элементам ряда соответствующие элементы любого другого параллельного ряда,умноженные на один и тот же множитель.

Преобразования 1-3 называются элементарными.

Две матрицы эквивалентны, если одна получается из другой с помощью элементарных преобразований.

Эквивалентность матриц обозначается: А~В.

Дата добавления: 2014-01-15