Найти асимптоты графика функции

,.

И.

И.

И.

Следовательно, наклонной асимптоты нет.

ПРИМЕР. Найти асимптоты функции .

ОДЗ функции: х≠1, х≠-1.

Рис.9

1). Вертикальной асимптотой графика функции у=f(х) является прямая х=а, если или , .

Если х=1: х=1 -вертикальная асимптота.

х=-1: , х=-1 -вертикальная асимптота.

2). Исследуем функцию на на наклонную правую асимптоту

Следовательно, правая наклонная асимптота есть у=х.

Аналогично при х=-1:

Следовательно, правой наклонной асимптотой есть у=-х.

9.7.Общая схема исследования функции и построения графика.

Исследование функции у=f(х) целесообразно вести в определенной последовательности:

1).Найти область определения функции.

2).Найти (если возможно) точки пересечения с осями координат.

3).Найти интервалы знакопостоянства функции(промежутки, на которых у=f(х) >0 или у=f(х) < 0).

4).Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида.

5).Найти асимптоты графика функции.

6).Найти интервалы монотонности функции.

7).Найти экстремумы функции.

8).Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

На основании проведенного исследования построить график функции. Необходимо заметить, что данная схема не является обязательной. В более простых случаях достаточно выполнить лишь несколько операций,например,1,2,7.

Если после полного исследования график функции не совсем понятен, то можно дополнительно исследовать функцию на периодичность, построить дополнительно несколько точек графика, выявить другие особенности функции.

ПРИМЕР. Исследовать функцию и построить график .

1). Найти область определения функции. х≠ ±1.

2). Найти (если возможно) точки пересечения с осями координат.

При х=0 у – не существует; при у=0, х=0( числитель)- не существует.

3). Найти интервалы знакопостоянства функции(промежутки, на которых у =f(х) >0 или у=f(х) < 0).(определим позже)

4). Выяснить,является ли функция четной,нечетной или общего вида.

f(х)= f(-х), то функция четная; ( cosx=cos(-x))

f(-х)= -f(х), то функция нечетная (sen(-x)=-senx)

Следовательно, f(-х)= -f(х) - функция нечетная .(график симметричен относительно т.О(0,0).

Замечание,Ввиду нечетности функции вычисление достаточно провести лишь при х>0, левая половина графика восстанавливается по принципу нечетной симметрии.

5.1). Вертикальной асимптотой графика функции у=f(х) называется прямая х=а, если или , .

Если х=1: , х=1 -вертикальная асимптота,

х=-1: , х=-1 -вертикальная аси мптота.

5.2). Исследуем функцию на на наклонную правую асимптоту

Дата добавления: 2014-01-15