Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Экспоненциальной) форме ,где -модуль комплексного числа,а угол

.

.

Или.

Алгебраическая форма:.

Модуль и аргумент можно рассматривать как полярные координаты вектора , изображающего комплексное число ,тогда получаем:

, и комплексное число можно записать в виде:

Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой.

Модуль определяется по формуле: ,

аргумент определяется из формул .

Так как ,то , .

Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить главное значение аргумента,т.е. считать

Так как , то из формулы получаем,что

.

 

Если точка лежит на действительной(ОХ) или на мнимой (ОУ) осях, то

можно найти непосредственно.

Например, для - точка находится на оси ОХ: х=2;

для - точка находится на оси ОХ: х=-3;

для - точка находится на оси ОУ: у=1;

для - точка находится на оси ОУ: у=-8.

ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА.

Комплексное число можно записать в показательной

В силу формулы Эйлера,функция - периодическая с основным периодом 2π.

Для записи комплексного числа z в показательной форме достаточно найти главное значение аргумента,т.е. .

ПРИМЕР. Записать комплексные числа и в тригонометрической и показательной формах.

Для : , ,т.е. .

Поэтому .

Для : , (II четверть), т.е. .

Поэтому .

1.3.Действия над комплексными числами.

Определение. Суммой двух комплексных чисел и называется

комплексное число,определяемое равенством .

Сложение комплексных чисел обладает:

переместительным свойством: ,

и сочетательным свойством: .

Геометрически комплексные числа складываются как векторы.

Определение. Разностью двух комплексных чисел и называют такое комплексное число , которое будучи сложенным с дает число :

,

при чем , т.е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между точками,изображающими эти числа на плоскости.

ПРИМЕР. Равенство определяет на комплексной плоскостимножество точек

, находящихся на расстоянии 1 от точки , т.е. окружность с центром в

и радиусом 1.

у

х

Определение. Произведением двух комплексных чисел и называется

комплексное число,определяемое равенством .

Осюда следует,что .

Заметим,что - действительное число.

ПРИМЕР. 1). .

2). .

Произведение комплексных чисел обладает:

переместительным свойством: ,

сочетательным свойством: ,

распределительным(дистрибутивным) свойством: .

Произведение комплексных чисел,заданных в тригонометрической форме:

,

т.е. при умножении комплексных чисел их модули перемножаются,а аргументы складываются.

Это правило распространяется на любое конечное число множителей.

 

ФОРМУЛА МУАВРА.

.

ПРИМЕР. Найти .

Запишем число в тригонометрической форме: .

По формуле Муавра имеем:

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Определение.Два комплексных числа и,отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными | Деление комплексных чисел
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 702; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.022 сек.