Теоремы о модуле и аргументе

Теорема 2.1. Модуль произведения двух комплексных чисел равен произве­дению их модулей, аргумент произведения двух комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей.

Составив произведение двух комплексных чисел z == r (+ i sin) и

, получаем:

. (2.1)

Отсюда заключаем: и () = . ■

Пользуясь векторами для изображения комплексных чисел, можно сказать, что вектор произведения получается из вектора множи­мого z путем поворота последнего на угол arg z ₁ и растяжения в раз. В частном случае, когда = 1, умножение сводится к простому повороту: так, например, умножению на i соответствует поворот на 90°, а умножению на -1 — поворот на 180°. В случае, когда = 0 (- число положительное), умножение сводится к одному лишь растяжению.

Равенства (2.1) легко распространяются на случай произведения произвольного числа комплексных сомножителей. Для такого произведения имеют место равенств в частности, если все сомножители равны между собой,

(2.2)

(2.3)

Равенства (2.2), (2.3) называются формулами Муавра.

Полагая z = , определим как комплексное число, которое, будучи возведено в степень n равно z. Модуль этого числа, очевидно, будет равен , аргумент же будет равен , где k - любое целое число. Давая k значения 0,1,2,..., n - 1, получим n разных значений аргумента выражения , следовательно, имеет n различных значений согласно формуле

= или = , .

Геометрически эти n значений выражения изобразятся вершинами правильного n -угольника, вписанного в окружность с центром в нулевой точке и радиуса.

Пример.2.1 Найти значения .

Рис. 2.2

Решение.

,

.

Значения корней приведены на рис.2. 2Корень пятой степени из 1 представлен на рис 2.3

Теорема 2. 2. Модуль частного двух комплексных чисел равен частному их модулей, а аргумент частного двух комплексных чисел равен разности аргументов делимого и делителя.

По определению частного находим: ■

Пример 2 Решить уравнение

Если коэффициенты квадратного уравнения действительные числа, то комплексные корни встречаются сопряженными парами.

Пример 3 Решить уравнение.

Решение

а).

Тогда корни уравнения

Ответ: ;

Пример 4 Решить уравнение.

Ответ: ;;

Пример 5 Составим квадратное уравнение с действительными коэффициентами, корнем которого является а=

Дата добавления: 2014-01-15