Несобственные интегралы. (А) Несобственный интеграл 1-го рода (с бесконечными пределами)

(А) Несобственный интеграл 1-го рода (с бесконечными пределами)

Опр. Пусть функция определена и непрерывна . Несобственным интегралом 1-го рода называется : . Если этот предел существует и конечен, то называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Аналогично вводится

Геометрический смысл несобственного интеграла 1-го рода: это площадь бесконечной криволинейной трапеции.

ПР. .

ПР. При каких интеграл сходится?

а) : ,

б) : .

,
где независимо друг от друга. Если хотя бы один из пределов в формуле (*) не существует или равен , т.е. интеграл расходится, но существует , то
А называют главным значением :

. (**)

ПР. – , но 0 (т.е. сходится в смысле главного значения).

(В) Несобственный интеграл 2-го рода (от неограниченной ф-ции)

Опр. Пусть функцияопределена на , и интегрируема на . Несобственным интегралом 2-го рода называется

.

Если этот предел существует и конечен, то– сходится (в противном случае – расходится).

Аналогично для случая, когда определена на , и интегрируема на , тогда – несобственный интеграл 2-го рода.

Если и , то

, (***)

где независимо друг от друга.

Если интеграл расходится, но существует , то этот предел называется главным значением :

.

ПР. сходится.

ПР. , т.е. расходится, но .

Дата добавления: 2014-01-15