Математическое ожидание, мода, медиана

Пусть имеем произвольное вероятностное пространство (W,ℱ, Р), на котором определена случайная величина x.

Определение. Математическим ожиданием или средним значением случайной величины x называется число Мx, которое находится по формуле:

а) если случайная величина x дискретна, то есть задана табл. 2,

Таблица 2

x	x 1	x 2	…	xn	…
p	p 1	p 2	…	pn	…	(S pi =1),	i Î N,

то

, (30)

и существует, при условии, что ряд в правой части (30) сходится;

б) если случайная величина x непрерывна с плотностью r (х), то

, (31)

и существует, при условии, что несобственный интеграл в правой части (31) сходится.

Математическое ожидание аналогично понятию средне-взвешенного и интерпретируется как абсцисса центра тяжести распределения массы на прямой.

Свойства.

1). Если x = а – const, то Ма = а.

В самом деле, рассматривая а как дискретную случайную величину с законом распределения

Р { x = а } =1, Р { x ¹ а }= 0,

получаем по формуле (30):

Мx = 0× Р { x ¹ а }+ а × Р { x = а }= а ×1= а. _▼

2). Постоянную можно выносить за знак математического ожидания

М(аx) = аМx.

В самом деле, если x, например, непрерывная случайная величина, то

._▼

3). Для любых случайных величин x, h

М (x + h) = Мx + Мh

4). Если случайные величины x, h независимы, то

М (x × h) = Мx × Мh.

В самом деле, если случайные величины независимы, то их совместная плотность, равна произведению плотностей случайных величин*, то есть

r_x×h (х, у) = r_x (х)× r_h (у),

тогда

= Мx × Мh. _▼

5). Всегда .

В самом деле, имеем

._▼

Пример. Найти математическое ожидание индикатора события А Ì W.

Решение. По определению I(w)=I_A (w) = , тогда для любого w Î W

М (I (w)) = Р (w)×1- (1 - Р (w))×0= R (w).

Так как , то М (I (А)) = М (.

Таким образом, вероятность события А Ì W можно записать через математическое ожидание индикатора события А.

Математическое ожидание случайной величины x является важнейшей, среди ее «линейных характеристик». На практике, в качестве характеристик, дополняющих математическое ожидание, используют моду и медиану [3].

Определение. Модой М ₀ дискретной случайной величины x называется ее наивероятнейшее значение к ₀.

Модой непрерывной случайной величины x называется любое из значений х, в котором плотность имеет максимум.

Графическая интерпретация моды приведена на рис. 14.

Определение. Медианой непрерывной случайной величины x называется ее значение М _е, для которого

Р { x < М_е }= Р { x > М_е }.

Рис. 15

На рис. 15 изображена плотность вероятности, где медиана есть абсцисса М _е = х, для которой

Можно определить медиану и для дискретной случайной величины, например, как среднее арифметическое наименьшего и наибольшего ее значений [1], однако обычно медиана используется при изучении непрерывных случайных величин.

Дата добавления: 2014-01-15